secuencia de Riesz

En matemáticas , una secuencia de vectores ( x _n ) en un espacio de Hilbert${\displaystyle (H,\langle \cdot,\cdot \rangle)}$Se denomina secuencia de Riesz si existen constantes.${\displaystyle 0<c\leq C<\infty }$de tal manera que $${\displaystyle c\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{2}\leq \left\Vert \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{2},}$$ para cada secuencia escalar finita${\displaystyle \{a_{n}\}}$y por lo tanto, para todos${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\in \ell ^{2}}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Una secuencia de Riesz se denomina base de Riesz si $${\displaystyle {\overline {\mathop {\rm {span}} (x_{n})}}=H.}$$ De forma equivalente, una base de Riesz para${\displaystyle H}$es una familia de la forma${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=\left\{Ue_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, dónde${\displaystyle \left\{e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$es una base ortonormal para${\displaystyle H}$y${\displaystyle U:H\rightarrow H}$es un operador biyectivo acotado. Posteriormente, existen constantes${\displaystyle 0<c\leq C<\infty }$de tal manera que ^{[ 3 ]}$${\displaystyle c\|f\|^{2}\leq \sum _{n=1}^{\infty }|\langle f,x_{n}\rangle |^{2}\leq C\|f\|^{2},\quad \forall f\in H.}$$ Por lo tanto, las bases de Riesz no necesitan ser ortonormales, es decir, son una generalización de las bases ortonormales. ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle \{e_{n}\}}$ser una base ortonormal para un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$y dejar${\displaystyle \{x_{n}\}}$ estar "cerca" de${\displaystyle \{e_{n}\}}$en el sentido de que

${\displaystyle \left\|\sum a_{i}(e_{i}-x_{i})\right\|\leq \lambda {\sqrt {\sum |a_{i}|^{2}}}}$

por alguna constante${\displaystyle \lambda }$,${\displaystyle 0\leq \lambda <1}$y escalares arbitrarios${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$${\displaystyle (n=1,2,3,\dotsc )}$. Entonces${\displaystyle \{x_{n}\}}$es una base de Riesz para${\displaystyle H}$. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Si H es un espacio de dimensión finita , entonces toda base de H es una base de Riesz.

Dejar${\displaystyle \varphi }$Sea en el espacio L ^p L ² ( R ), sea

${\displaystyle \varphi _ {n}(x)=\varphi (xn)}$

y dejar${\displaystyle {\sombrero {\varphi }}}$denotamos la transformada de Fourier de${\displaystyle {\varphi }}$. Definir las constantes c y C con${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$. Entonces, las siguientes son equivalentes: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle 1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle 2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C}$

La primera de las condiciones anteriores es la definición de (${\displaystyle {\varphi _{n}}}$) para formar una base de Riesz para el espacio que abarca .

El teorema de Kadec 1/4 , a veces llamado teorema de Kadets 1/4 , proporciona una condición específica bajo la cual una secuencia de exponenciales complejas forma una base de Riesz para el espacio Lp.${\displaystyle L^{2}[-\pi,\pi]}$Es un resultado fundamental en la teoría de las series de Fourier no armónicas.

Dejar${\displaystyle \Lambda =\{\lambda _{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$sea ​​una sucesión de números reales tal que

${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {Z} }|\lambda _{n}-n|<{\frac {1}{4}}}$

Luego, la secuencia de exponenciales complejas${\displaystyle \{e^{i\lambda _{n}t}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$forma una base de Riesz para${\displaystyle L^{2}[-\pi,\pi]}$. ^{[ 8 ]}

Este teorema demuestra la estabilidad de la base ortonormal estándar.${\displaystyle \{e^{int}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$(hasta la normalización) bajo perturbaciones de las frecuencias${\displaystyle n}$.

La constante 1/4 es aguda; si${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {Z} }|\lambda _{n}-n|=1/4}$, la secuencia puede no ser una base de Riesz, como por ejemplo: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \lambda _{n}={\begin{cases}n-{\frac {1}{4}},&n>0\\0,&n=0\\n+{\frac {1}{4}},&n<0\end{cases}}}$$Cuando${\displaystyle \Lambda =\{\lambda _{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$Se permite que sean complejos, el teorema se cumple bajo la condición${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {Z} }|\lambda _{n}-n|<{\frac {\log 2}{\pi }}}$. Si la constante es precisa es una cuestión abierta. ^{[ 9 ]}

• base ortonormal
• espacio de Hilbert
• Marco de un espacio vectorial

• Antoine, J.-P.; Balazs, P. (2012). "Marcos, semimarcos y escalas de Hilbert". Análisis funcional numérico y optimización . 33 ( 7– 9): 736– 769. arXiv : 1203.0506 . doi : 10.1080/01630563.2012.682128 . ISSN 0163-0563 . 
• Balazs, Peter; Stoeva, Diana T.; Antoine, Jean-Pierre (2010). "Clasificación de secuencias generales mediante operadores relacionados con marcos". Teoría del muestreo en el procesamiento de señales e imágenes . 10 ( 1– 2): 151– 170. arXiv : 1009.1496 . doi : 10.1007/BF03549539 .
• Christensen, Ole (2016). Introducción a los marcos y bases de Riesz . Análisis armónico aplicado y numérico. Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-319-25613-9 . ISBN 978-3-319-25611-5.
• Hernández, Eugenio; Weiss, Guido (1996). Un primer curso sobre ondículas . CRC Press. ISBN 978-0-8493-8274-1.
• Mallat, Stéphane (2008), Un recorrido por el procesamiento de señales mediante ondículas: El método disperso (PDF) (3.ª  ed.), págs. 46–47 , ISBN  9780123743701
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934). Transformadas de Fourier en el dominio complejo . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1019-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Young, Robert M. (2001). Introducción a las series de Fourier no armónicas, edición revisada, 93. Academic Press. ISBN 978-0-12-772955-8.

Este artículo incorpora material de la secuencia de Riesz en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License . Este artículo incorpora material de la base de Riesz en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .