Función de cresta

En matemáticas , una función de cresta es cualquier función${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$que puede escribirse como la composición de una función univariada${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, que se denomina función de perfil , con una transformación afín , dada por un vector de dirección${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{d}}$con cambio${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$.

Luego, la función de cresta se lee ${\displaystyle f(x)=g(x^{\top }a+b)}$para${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$.

La creación del término "función de cresta" se atribuye a menudo a BF Logan y LA Shepp. ^{[ 1 ]}

Una función de cresta no es susceptible a la maldición de la dimensionalidad , lo que la convierte en una herramienta instrumental en varios problemas de estimación. Esto es un resultado directo del hecho de que las funciones de cresta son constantes en${\displaystyle d-1}$Instrucciones: Deje${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{d-1}}$ser${\displaystyle d-1}$vectores independientes que son ortogonales a${\displaystyle a}$, de tal manera que estos vectores abarcan${\displaystyle d-1}$dimensiones. Entonces

${\displaystyle f\left({\boldsymbol {x}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}\cdot {\boldsymbol {a}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}0\right)=g({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}})=f({\boldsymbol {x}})}$

a pesar de${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ,1\leq i<d}$. En otras palabras, cualquier cambio de${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$en una dirección perpendicular a${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$no cambia el valor de${\displaystyle f}$.

Las funciones de cresta desempeñan un papel esencial, entre otros, en la búsqueda de proyecciones , los modelos lineales generalizados y como funciones de activación en redes neuronales . Para una revisión sobre funciones de cresta, véase ^{[ 2 ]} . Para libros sobre funciones de cresta, véase ^{[ 3 ] [ 4 ].}