Reversibilidad temporal

En matemáticas y física , la reversibilidad temporal es la propiedad de un proceso cuyas reglas rectoras permanecen inalteradas cuando se invierte la dirección de su secuencia de acciones.

Un proceso determinista es reversible en el tiempo si el proceso invertido satisface las mismas ecuaciones dinámicas que el proceso original; en otras palabras, las ecuaciones son invariantes o simétricas ante un cambio de signo temporal. Un proceso estocástico es reversible si las propiedades estadísticas del proceso son las mismas que las de los datos invertidos del mismo proceso.

En matemáticas , un sistema dinámico es reversible en el tiempo si la evolución hacia adelante es biyectiva , de modo que para cada estado existe una transformación (una involución ) π que da una correspondencia biyectiva entre la evolución en el tiempo invertida de cualquier estado y la evolución en el tiempo hacia adelante de otro estado correspondiente, dada por la ecuación del operador:

${\displaystyle U_{-t}=\pi \,U_{t}\,\pi }$

Por lo tanto , cualquier estructura independiente del tiempo (por ejemplo, puntos críticos o atractores ) a la que dé lugar la dinámica debe ser auto-simétrica o tener imágenes simétricas bajo la involución π.

En física , las leyes del movimiento de la mecánica clásica exhiben reversibilidad temporal, siempre que el operador π invierta los momentos conjugados de todas las partículas del sistema, es decir${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {-p} }$( Simetría T ).

En los sistemas cuánticos , sin embargo, la fuerza nuclear débil no es invariante solo bajo la simetría T; si hay interacciones débiles, la dinámica reversible sigue siendo posible, pero solo si el operador π también invierte los signos de todas las cargas y la paridad de las coordenadas espaciales ( simetría C y simetría P ). Esta reversibilidad de varias propiedades vinculadas se conoce como simetría CPT .

Los procesos termodinámicos pueden ser reversibles o irreversibles , dependiendo del cambio de entropía durante el proceso. Sin embargo, cabe señalar que las leyes fundamentales que subyacen a los procesos termodinámicos son todas reversibles en el tiempo (leyes clásicas del movimiento y leyes de la electrodinámica), ^{[ 1 ]} lo que significa que a nivel microscópico, si se hiciera un seguimiento de todas las partículas y todos los grados de libertad, los procesos del sistema de muchos cuerpos son todos reversibles; sin embargo, tal análisis está más allá de la capacidad de cualquier ser humano (o inteligencia artificial ), y las propiedades macroscópicas (como la entropía y la temperatura) de un sistema de muchos cuerpos solo se definen a partir de las estadísticas de los conjuntos . Cuando hablamos de tales propiedades macroscópicas en termodinámica, en ciertos casos, podemos ver irreversibilidad en la evolución temporal de estas cantidades a nivel estadístico. De hecho, la segunda ley de la termodinámica predice que la entropía de todo el universo no debe disminuir, no porque la probabilidad de que eso ocurra sea cero, sino porque es tan improbable que es una imposibilidad estadística para todas las consideraciones prácticas (véase el teorema de fluctuación de Crooks ).

Un proceso estocástico es reversible en el tiempo si las probabilidades conjuntas de las secuencias de estados directo e inverso son las mismas para todos los conjuntos de incrementos de tiempo { τ _s }, para s = 1, ..., k para cualquier k : ^{[ 2 ]}    

${\displaystyle p(x_{t},x_{t+\tau _{1}},x_{t+\tau _{2}},\ldots ,x_{t+\tau _{k}})=p(x_{t'},x_{t'-\tau _{1}},x_{t'-\tau _{2}},\ldots ,x_{t'-\tau _{k}})}$.

Un proceso gaussiano estacionario univariado es reversible en el tiempo. Los procesos de Markov son reversibles si y solo si sus distribuciones estacionarias tienen la propiedad de equilibrio detallado :

${\displaystyle p(x_{t}=i,x_{t+1}=j)=\,p(x_{t}=j,x_{t+1}=i)}$.

El criterio de Kolmogorov define la condición para que una cadena de Markov o una cadena de Markov de tiempo continuo sea reversible en el tiempo.

Se ha estudiado la inversión temporal de numerosas clases de procesos estocásticos, incluidos los procesos de Lévy , ^{[ 3 ]} redes estocásticas ( lema de Kelly ), ^{[ 4 ]} procesos de nacimiento y muerte , ^{[ 5 ]} cadenas de Markov , ^{[ 6 ]} y procesos de Markov deterministas por partes . ^{[ 7 ]}

El método de inversión temporal se basa en la reciprocidad lineal de la ecuación de onda , que establece que la solución de una ecuación de onda invertida en el tiempo también es una solución de la ecuación de onda, ya que las ecuaciones de onda estándar solo contienen derivadas pares de las variables desconocidas. ^{[ 8 ]} Por lo tanto, la ecuación de onda es simétrica bajo la inversión temporal, de modo que la inversión temporal de cualquier solución válida también es una solución. Esto significa que la trayectoria de una onda a través del espacio es válida cuando se viaja en cualquier dirección.

El procesamiento de señales de inversión temporal ^{[ 9 ]} es un proceso en el que se utiliza esta propiedad para invertir una señal recibida; esta señal se reemite y se produce una compresión temporal, lo que da como resultado una inversión de la forma de onda de excitación inicial que se reproduce en la fuente inicial.

• Simetría T
• amnesia
• Propiedad de Markov
• Computación reversible

• Isham, V. (1991) «Modelado de fenómenos estocásticos». En: Teoría y modelado estocástico , Hinkley, DV., Reid, N., Snell, EJ (Eds). Chapman and Hall. ISBN 978-0-412-30590-0.
• Tong, H. (1990) Series temporales no lineales: un enfoque de sistemas dinámicos . Oxford UP. ISBN 0-19-852300-9