Error de reproyección

El error de reproyección es un error geométrico que corresponde a la distancia de la imagen entre un punto proyectado y uno medido. Se utiliza para cuantificar qué tan cerca está una estimación de un punto 3D.${\displaystyle {\hat {\mathbf {X} }}}$recrea la proyección verdadera del punto${\displaystyle \mathbf {x} }$. Más precisamente, dejemos${\displaystyle \mathbf {P} }$sea ​​la matriz de proyección de una cámara y${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ser la proyección de la imagen de${\displaystyle {\hat {\mathbf {X} }}}$, es decir${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=\mathbf {P} \,{\hat {\mathbf {X} }}}$. El error de reproyección de${\displaystyle {\hat {\mathbf {X} }}}$es dado por${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\,{\hat {\mathbf {x} }})}$, dónde${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\,{\hat {\mathbf {x} }})}$denota la distancia euclidiana entre los puntos de la imagen representados por vectores${\displaystyle \mathbf {x} }$y${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$.

Minimizar el error de reproyección puede utilizarse para estimar el error a partir de correspondencias de puntos entre dos imágenes. Supongamos que se nos dan correspondencias imperfectas de puntos 2D a 2D.${\displaystyle \{\mathbf {x_ {i}} \leftrightarrow \mathbf {x_ {i}} '\}}$Deseamos encontrar una homografía${\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}}$y pares de puntos perfectamente coincidentes${\displaystyle {\hat {\mathbf {x_{i}} }}}$y${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i}'}$, es decir, puntos que satisfacen${\displaystyle {\hat {\mathbf {x_{i}} }}'={\hat {H}}\mathbf {{\hat {x}}_{i}} }$que minimicen la función de error de reproyección dada por

${\displaystyle \sum _{i}d(\mathbf {x_{i}} ,{\hat {\mathbf {x_{i}} }})^{2}+d(\mathbf {x_{i}} ',{\hat {\mathbf {x_{i}} }}')^{2}}$

Así, las correspondencias pueden interpretarse como imágenes imperfectas de un punto del mundo, y el error de reproyección cuantifica su desviación de las proyecciones de imagen verdaderas.${\displaystyle {\hat {\mathbf {x_{i}} }},{\hat {\mathbf {x_{i}} }}'}$

• Richard Hartley y Andrew Zisserman (2003). Geometría de múltiples vistas en visión por computadora . Cambridge University Press. ISBN 0-521-54051-8.