Homografía (visión por computadora)

En el campo de la visión por computadora , dos imágenes cualesquiera de la misma superficie plana en el espacio están relacionadas por una homografía (suponiendo un modelo de cámara estenopeica ). Esto tiene muchas aplicaciones prácticas, como la rectificación de imágenes , el registro de imágenes o el movimiento de la cámara (rotación y traslación) entre dos imágenes. Una vez realizada la resección de la cámara a partir de una matriz de homografía estimada, esta información puede utilizarse para la navegación o para insertar modelos de objetos 3D en una imagen o vídeo, de modo que se representen con la perspectiva correcta y parezcan haber formado parte de la escena original (véase Realidad aumentada ).

Tenemos dos cámaras, a y b , que apuntan a puntos${\displaystyle P_{i}}$en un plano. Pasando desde la proyección${\displaystyle {}^{b}p_{i}=\left({}^{b}u_{i};{}^{b}v_{i};1\right)}$de${\displaystyle P_{i}}$en b a la proyección${\displaystyle {}^{a}p_{i}=\left({}^{a}u_{i};{}^{a}v_{i};1\right)}$de${\displaystyle P_{i}}$en un :

${\displaystyle {}^{a}p_{i}={\frac {{}^{b}z_{i}}{{}^{a}z_{i}}}K_{a}\cdot H_{ab}\cdot K_{b}^{-1}\cdot {}^{b}p_{i}}$

dónde${\displaystyle {}^{a}z_{i}}$y${\displaystyle {}^{b}z_{i}}$son las coordenadas z de P en cada fotograma de la cámara y donde la matriz de homografía${\displaystyle H_{ab}}$es dado por

${\displaystyle H_{ab}=R-{\frac {tn^{T}}{d}}}$.

${\displaystyle R}$es la matriz de rotación mediante la cual b se rota en relación con a ; t es el vector de traslación de a a b ; n y d son el vector normal del plano y la distancia desde el origen al plano, respectivamente. K _a y K _b son las matrices de parámetros intrínsecos de las cámaras .

La figura muestra la cámara b apuntando al avión a una distancia d . Nota: A partir de la figura anterior, suponiendo${\displaystyle n^{T}P_{i}+d=0}$como modelo de avión,${\displaystyle n^{T}P_{i}}$es la proyección del vector${\displaystyle P_{i}}$a lo largo de${\displaystyle n}$y igual a${\displaystyle -d}$. Entonces${\displaystyle t=t\cdot 1=t\left(-{\frac {n^{T}P_{i}}{d}}\right)}$Y tenemos.${\displaystyle H_{ab}P_{i}=RP_{i}+t}$dónde${\displaystyle H_{ab}=R-{\frac {tn^{T}}{d}}}$.

Esta fórmula solo es válida si la cámara b no tiene rotación ni traslación. En el caso general donde${\displaystyle R_{a},R_{b}}$y${\displaystyle t_{a},t_{b}}$son las rotaciones y traslaciones respectivas de las cámaras a y b ,${\displaystyle R=R_{a}R_{b}^{T}}$y la matriz de homografía${\displaystyle H_{ab}}$se convierte

${\displaystyle H_{ab}=R_{a}R_{b}^{T}-{\frac {(-R_{a}*R_{b}^{T}*t_{b}+t_{a})n^{T}}{d}}}$

donde d es la distancia de la cámara b al plano.

Cuando la región de la imagen en la que se calcula la homografía es pequeña o la imagen se ha adquirido con una gran distancia focal, una homografía afín es un modelo más apropiado de desplazamientos de imagen. Una homografía afín es un tipo especial de una homografía general cuya última fila está fija a

${\displaystyle h_{31}=h_{32}=0,\;h_{33}=1.}$

• Transformación lineal directa
• Geometría epipolar
• Característica (visión por computadora)
• Matriz fundamental (visión por computadora)
• Postura (visión por computadora)
• Fotogrametría

• O. Chum y T. Pajdla y P. Sturm (2005). "El error geométrico para homografías" (PDF) . Computer Vision and Image Understanding . 97 (1): 86– 102. doi : 10.1016/j.cviu.2004.03.004 .

• homest es una biblioteca C / C++ con licencia GPL para la estimación robusta y no lineal de homografías a partir de pares de puntos coincidentes (Manolis Lourakis).
• OpenCV es una biblioteca de software de visión artificial completa ( de código abierto y gratuita ) que cuenta con muchas rutinas relacionadas con la estimación de homografía ( cvFindHomography ) y la reproyección ( cvPerspectiveTransform ).

• Serge Belongie y David Kriegman (2007) Explicación de la estimación de homografía del Departamento de Ciencias de la Computación e Ingeniería, Universidad de California, San Diego .
• A. Criminisi, I. Reid y A. Zisserman (1997) "Un dispositivo de medición plana" , §3 Cálculo de la homografía plano a plano, del Grupo de Geometría Visual, Departamento de Ciencias de la Ingeniería, Universidad de Oxford .
• Elan Dubrofsky (2009) Estimación de homografía , tesis de maestría , del Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Columbia Británica .
• Richard Hartley y Andrew Zisserman (2004) Geometría de múltiples vistas del Visual Geometry Group, Oxford. Incluye funciones de Matlab para calcular una homografía y la matriz fundamental (visión por computadora) .
• Tutorial de GIMP: uso de la herramienta Perspectiva por Billy Kerr en YouTube . Muestra cómo realizar una transformación de perspectiva usando GIMP .
• Allan Jepson (2010) Homografías planares del Departamento de Ciencias de la Computación de la Universidad de Toronto . Incluye homografía 2D a partir de cuatro pares de puntos correspondientes, mosaicos en el procesamiento de imágenes, eliminación de la distorsión de perspectiva en visión artificial, renderizado de texturas en gráficos por computadora y cálculo de sombras planares.
• Homografía de transferencia de planos. Apuntes del curso CSE576 en la Universidad de Washington en Seattle .
• Etienne Vincent y Robert Laganiere (2000) Detección de homografías planares en un par de imágenes. Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine por la Escuela de Tecnología de la Información e Ingeniería de la Universidad de Ottawa . Describe un algoritmo para detectar planos en imágenes, utiliza el método de consenso de muestra aleatoria ( RANSAC ) y describe heurísticas e iteración.