Ecuación del replicador

En matemáticas , la ecuación del replicador es un tipo de sistema dinámico utilizado en la teoría de juegos evolutiva para modelar cómo cambia la frecuencia de las estrategias en una población a lo largo del tiempo. Es una dinámica determinista , monótona , no lineal y no innovadora que captura el principio de selección natural en las interacciones estratégicas. ^{[ 1 ]}

La ecuación del replicador describe cómo las estrategias con una aptitud superior a la media aumentan en frecuencia, mientras que las menos exitosas disminuyen. A diferencia de otros modelos de replicación, como el modelo de cuasiespecies , la ecuación del replicador permite que la aptitud de cada tipo dependa dinámicamente de la distribución de los tipos de población, convirtiendo la función de aptitud en un componente endógeno del sistema. Esto permite modelar la selección dependiente de la frecuencia , donde el éxito de una estrategia depende de su prevalencia relativa a otras.

Otra diferencia clave con respecto al modelo de cuasiespecies es que la ecuación del replicador no incluye mecanismos de mutación ni la introducción de nuevas estrategias, por lo que se considera no innovadora . Presupone que todas las estrategias están presentes desde el principio y modela únicamente el crecimiento o la disminución relativa de sus proporciones a lo largo del tiempo.

La dinámica de replicación se ha aplicado ampliamente en campos como la biología (para estudiar la evolución y la dinámica de poblaciones), la economía (para analizar la racionalidad limitada y la evolución de estrategias) y el aprendizaje automático (en particular en sistemas multiagente y aprendizaje por refuerzo ).

La forma continua más general de la ecuación del replicador viene dada por la ecuación diferencial :

dónde${\displaystyle x_{i}}$es la proporción de tipo${\displaystyle i}$en la población,${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$es el vector de la distribución de tipos en la población,${\displaystyle f_{i}(x)}$es la aptitud de tipo${\displaystyle i}$(que depende de la población), y${\displaystyle \phi (x)}$es la aptitud promedio de la población (dada por el promedio ponderado de la aptitud de la población)${\displaystyle n}$tipos en la población). Dado que los elementos del vector de población${\displaystyle x}$La suma es igual a la unidad por definición, y la ecuación está definida en el simplex n-dimensional .

La ecuación del replicador presupone una distribución uniforme de la población; es decir, no incorpora la estructura poblacional en la aptitud. El paisaje de aptitud sí incorpora la distribución poblacional de los tipos, a diferencia de otras ecuaciones similares, como la ecuación de las cuasiespecies.

En la práctica, las poblaciones suelen ser finitas, lo que hace que la versión discreta sea más realista. El análisis es más complejo y computacionalmente intensivo en la formulación discreta, por lo que a menudo se utiliza la forma continua, aunque se pierden propiedades importantes debido a este suavizado. Cabe destacar que la forma continua se puede obtener a partir de la discreta mediante un proceso de límite .

Para simplificar el análisis, a menudo se supone que la aptitud depende linealmente de la distribución de la población, lo que permite escribir la ecuación del replicador de la siguiente forma:

${\displaystyle {\dot {x_{i}}}=x_{i}\left(\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right)}$

donde la matriz de pagos${\displaystyle A}$contiene toda la información de aptitud física de la población: la recompensa esperada se puede escribir como${\displaystyle \left(Ax\right)_{i}}$y la aptitud media de la población en su conjunto se puede escribir como${\displaystyle x^{T}Ax}$Se puede demostrar que el cambio en la razón de dos proporciones${\displaystyle x_{i}/x_{j}}$con respecto al tiempo es:$${\displaystyle {d \over {dt}}\left({x_{i} \over {x_{j}}}\right)={x_{i} \over {x_{j}}}\left[f_{i}(x)-f_{j}(x)\right]}$$En otras palabras, el cambio en la proporción se debe enteramente a la diferencia de aptitud entre los distintos tipos.

El análisis difiere en los casos continuo y discreto: en el primero, se utilizan métodos de ecuaciones diferenciales, mientras que en el segundo, los métodos tienden a ser estocásticos. Dado que la ecuación del replicador es no lineal, es difícil obtener una solución exacta (incluso en versiones simples de la forma continua), por lo que la ecuación se suele analizar en términos de estabilidad. La ecuación del replicador (en sus formas continua y discreta) satisface el teorema popular de la teoría de juegos evolutivos, que caracteriza la estabilidad de los equilibrios de la ecuación. La solución de la ecuación suele estar dada por el conjunto de estados evolutivamente estables de la población.

In general nondegenerate cases, there can be at most one interior evolutionary stable state (ESS), though there can be many equilibria on the boundary of the simplex. All the faces of the simplex are forward-invariant which corresponds to the lack of innovation in the replicator equation: once a strategy becomes extinct there is no way to revive it.

Phase portrait solutions for the continuous linear-fitness replicator equation have been classified in the two and three dimensional cases. Classification is more difficult in higher dimensions because the number of distinct portraits increases rapidly.

The continuous replicator equation on ${\displaystyle n}$ types is equivalent to the Generalized Lotka–Volterra equation in ${\displaystyle n-1}$ dimensions.^[2][3] The transformation is made by the change of variables:

${\displaystyle x_{i}={\frac {y_{i}}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}}\quad i=1,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}},}$

where ${\displaystyle y_{i}}$ is the Lotka–Volterra variable. The continuous replicator dynamic is also equivalent to the Price equation.^[4]

When one considers an unstructured infinite population with non-overlapping generations, one should work with the discrete forms of the replicator equation. Mathematically, two simple phenomenological versions---

${\displaystyle x'_{i}=x_{i}+x_{i}\left[\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right]\,({\rm {type~I),}}}$

${\displaystyle x'_{i}=x_{i}\left[{\frac {\left(Ax\right)_{i}}{x^{T}Ax}}\right]\,({\rm {type~II),}}}$

---are consistent with the Darwinian tenet of natural selection or any analogous evolutionary phenomena. Here, prime stands for the next time step. However, the discrete nature of the equations puts bounds on the payoff-matrix elements.^[5] Interestingly, for the simple case of two-player-two-strategy games, the type I replicator map is capable of showing period doubling bifurcation leading to chaos and it also gives a hint on how to generalize^[6] the concept of the evolutionary stable state to accommodate the periodic solutions of the map.

A generalization of the replicator equation which incorporates mutation is given by the replicator-mutator equation, which takes the following form in the continuous version:^[7]

${\displaystyle {\dot {x_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},}$

where the matrix ${\displaystyle Q}$ gives the transition probabilities for the mutation of type ${\displaystyle j}$ to type ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle f_{i}}$ is the fitness of the ${\displaystyle i^{th}}$ and ${\displaystyle \phi }$ is the mean fitness of the population. This equation is a simultaneous generalization of the replicator equation and the quasispecies equation, and is used in the mathematical analysis of language.

The discrete version of the replicator-mutator equation may have two simple types in line with the two replicator maps written above:

${\displaystyle x'_{i}=x_{i}+\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},}$

and

${\displaystyle x'_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}}{\phi (x)}},}$

respectively.

La ecuación del replicador o la ecuación replicador-mutador puede extenderse ^{[ 8 ]} para incluir el efecto del retardo, que corresponde a la información diferida sobre el estado de la población o a la interacción entre los jugadores. La ecuación del replicador también puede generalizarse fácilmente a juegos asimétricos . Una generalización reciente que incorpora la estructura de la población se utiliza en la teoría evolutiva de grafos ^{[ 9 ]} .

• Cálculo del equilibrio de Nash

• Cressman, R. (2003). Dinámica evolutiva y juegos de forma extensiva. The MIT Press.
• Taylor, PD; Jonker, L. (1978). "Estrategias estables evolutivas y dinámica de juegos". Mathematical Biosciences , 40 : 145–156.
• Sandholm, William H. (2010). Juegos de población y dinámica evolutiva . Aprendizaje económico y evolución social, The MIT Press.