Ecuación del replicador

En matemáticas , la ecuación del replicador es un tipo de sistema dinámico utilizado en la teoría de juegos evolutiva para modelar cómo cambia la frecuencia de las estrategias en una población a lo largo del tiempo. Es una dinámica determinista , monótona , no lineal y no innovadora que captura el principio de selección natural en las interacciones estratégicas. ^{[ 1 ]}

La ecuación del replicador describe cómo las estrategias con una aptitud superior a la media aumentan en frecuencia, mientras que las menos exitosas disminuyen. A diferencia de otros modelos de replicación, como el modelo de cuasiespecies , la ecuación del replicador permite que la aptitud de cada tipo dependa dinámicamente de la distribución de los tipos de población, convirtiendo la función de aptitud en un componente endógeno del sistema. Esto permite modelar la selección dependiente de la frecuencia , donde el éxito de una estrategia depende de su prevalencia relativa a otras.

Otra diferencia clave con respecto al modelo de cuasiespecies es que la ecuación del replicador no incluye mecanismos de mutación ni la introducción de nuevas estrategias, por lo que se considera no innovadora . Presupone que todas las estrategias están presentes desde el principio y modela únicamente el crecimiento o la disminución relativa de sus proporciones a lo largo del tiempo.

La dinámica de replicación se ha aplicado ampliamente en campos como la biología (para estudiar la evolución y la dinámica de poblaciones), la economía (para analizar la racionalidad limitada y la evolución de estrategias) y el aprendizaje automático (en particular en sistemas multiagente y aprendizaje por refuerzo ).

Ecuación

La forma continua más general de la ecuación del replicador viene dada por la ecuación diferencial :

${\dot {x_{i}}}=x_{i}[f_{i}(x)-\phi (x)],\quad \phi (x)=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)}$

dónde $x_{i}$ es la proporción de tipo $i$ en la población, $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ es el vector de la distribución de tipos en la población, $f_{i}(x)$ es la aptitud de tipo $i$ (que depende de la población), y $\phi (x)$ es la aptitud promedio de la población (dada por el promedio ponderado de la aptitud de la población) $n$ tipos en la población). Dado que los elementos del vector de población $x$ La suma es igual a la unidad por definición, y la ecuación está definida en el simplex n-dimensional .

La ecuación del replicador presupone una distribución uniforme de la población; es decir, no incorpora la estructura poblacional en la aptitud. El paisaje de aptitud sí incorpora la distribución poblacional de los tipos, a diferencia de otras ecuaciones similares, como la ecuación de las cuasiespecies.

En la práctica, las poblaciones suelen ser finitas, lo que hace que la versión discreta sea más realista. El análisis es más complejo y computacionalmente intensivo en la formulación discreta, por lo que a menudo se utiliza la forma continua, aunque se pierden propiedades importantes debido a este suavizado. Cabe destacar que la forma continua se puede obtener a partir de la discreta mediante un proceso de límite .

Para simplificar el análisis, a menudo se supone que la aptitud depende linealmente de la distribución de la población, lo que permite escribir la ecuación del replicador de la siguiente forma:

{\dot {x_{i}}}=x_{i}\left(\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right)

donde la matriz de pagos $A$ contiene toda la información de aptitud física de la población: la recompensa esperada se puede escribir como $\left(Ax\right)_{i}$ y la aptitud media de la población en su conjunto se puede escribir como $x^{T}Ax$ Se puede demostrar que el cambio en la razón de dos proporciones $x_{i}/x_{j}$ con respecto al tiempo es: ${d \over {dt}}\left({x_{i} \over {x_{j}}}\right)={x_{i} \over {x_{j}}}\left[f_{i}(x)-f_{j}(x)\right]$ En otras palabras, el cambio en la proporción se debe enteramente a la diferencia de aptitud entre los distintos tipos.

Derivación de la dinámica de replicadores deterministas y estocásticos.

Supongamos que el número de individuos de tipo $i$ es $N_{i}$ y que el número total de individuos es $N$ . Defina la proporción de cada tipo que se debe tener $x_{i}=N_{i}/N$ Supongamos que el cambio en cada tipo está regido por el movimiento browniano geométrico : $dN_{i}=f_{i}N_{i}dt+\sigma _{i}N_{i}dW_{i}$ dónde $f_{i}$ es la aptitud asociada con el tipo $i$ . La aptitud promedio de los tipos $\phi =x^{T}f$ Se supone que los procesos de Wiener no están correlacionados. Para $x_{i}(N_{1},...,N_{m})$ El lema de Itô nos da entonces: ${\begin{aligned}dx_{i}(N_{1},...,N_{m})&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}\partial N_{k}}}dN_{j}dN_{k}\\&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}(dN_{j})^{2}\end{aligned}}$ Las derivadas parciales son entonces: ${\begin{aligned}{\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}&={1 \over {N}}\delta _{ij}-{x_{i} \over {N}}\\{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}&=-{2 \over {N^{2}}}\delta _{ij}+{2x_{i} \over {N^{2}}}\end{aligned}}$ dónde $\delta _{ij}$ es la función delta de Kronecker . Estas relaciones implican que: $dx_{i}={dN_{i} \over {N}}-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}+x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}$ Cada uno de los componentes de esta ecuación se puede calcular de la siguiente manera: ${\begin{aligned}{dN_{i} \over {N}}&=f_{i}x_{i}dt+\sigma _{i}x_{i}dW_{i}\\-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}&=-x_{i}\left(\phi dt+\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)\\-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}&=-\sigma _{i}^{2}x_{i}^{2}dt\\x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}&=x_{i}\left(\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt\end{aligned}}$ Entonces, la ecuación de dinámica estocástica del replicador para cada tipo viene dada por: $dx_{i}=x_{i}\left(f_{i}-\phi -\sigma _{i}^{2}x_{i}+\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt+x_{i}\left(\sigma _{i}dW_{i}-\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)$ Suponiendo que el $\sigma _{i}$ Cuando los términos son idénticamente cero, se recupera la ecuación de dinámica de replicación determinista.

Análisis

El análisis difiere en los casos continuo y discreto: en el primero, se utilizan métodos de ecuaciones diferenciales, mientras que en el segundo, los métodos tienden a ser estocásticos. Dado que la ecuación del replicador es no lineal, es difícil obtener una solución exacta (incluso en versiones simples de la forma continua), por lo que la ecuación se suele analizar en términos de estabilidad. La ecuación del replicador (en sus formas continua y discreta) satisface el teorema popular de la teoría de juegos evolutivos, que caracteriza la estabilidad de los equilibrios de la ecuación. La solución de la ecuación suele estar dada por el conjunto de estados evolutivamente estables de la población.

En casos no degenerados, generalmente puede haber como máximo un estado evolutivamente estable (ESS) interior, aunque puede haber muchos equilibrios en el límite del simplex. Todas las caras del simplex son invariantes hacia adelante, lo que corresponde a la falta de innovación en la ecuación del replicador: una vez que una estrategia se extingue, no hay forma de revivirla.

Se han clasificado las soluciones de retrato de fase para la ecuación del replicador de aptitud lineal continua en los casos bidimensional y tridimensional. La clasificación resulta más difícil en dimensiones superiores debido al rápido aumento del número de retratos distintos.

Relaciones con otras ecuaciones

La ecuación del replicador continuo en $n$ Los tipos son equivalentes a la ecuación generalizada de Lotka-Volterra en $n-1$ dimensiones. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} La transformación se realiza mediante el cambio de variables:

x_{i}={\frac {y_{i}}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}}\quad i=1,\ldots ,n-1

x_{n}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}},

dónde $y_{i}$ es la variable de Lotka - Volterra. La dinámica del replicador continuo también es equivalente a la ecuación de Price . ^{[ 4 ]}

Ecuación del replicador discreto

Cuando se considera una población infinita no estructurada con generaciones que no se superponen, se debe trabajar con las formas discretas de la ecuación del replicador. Matemáticamente, dos versiones fenomenológicas simples---

x'_{i}=x_{i}+x_{i}\left[\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right]\,({\rm {type~I),}}

x'_{i}=x_{i}\left[{\frac {\left(Ax\right)_{i}}{x^{T}Ax}}\right]\,({\rm {type~II),}}

---son consistentes con el principio darwiniano de selección natural o cualquier fenómeno evolutivo análogo. Aquí, prima representa el siguiente paso de tiempo. Sin embargo, la naturaleza discreta de las ecuaciones impone límites a los elementos de la matriz de pagos. ^{[ 5 ]} Curiosamente, para el caso simple de juegos de dos jugadores y dos estrategias, el mapa replicador de tipo I es capaz de mostrar una bifurcación de duplicación de período que conduce al caos y también da una pista sobre cómo generalizar ^{[ 6 ]} el concepto de estado estable evolutivo para acomodar las soluciones periódicas del mapa.

Generalizaciones

Una generalización de la ecuación del replicador que incorpora mutación viene dada por la ecuación replicador-mutador, que toma la siguiente forma en la versión continua: ^{[ 7 ]}

{\dot {x_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},

donde la matriz $Q$ proporciona las probabilidades de transición para la mutación de tipo $j$ escribir $i$ , $f_{i}$ es la aptitud de la $i^{th}$ y $\phi$ es la aptitud media de la población. Esta ecuación es una generalización simultánea de la ecuación del replicador y la ecuación de las cuasiespecies , y se utiliza en el análisis matemático del lenguaje.

La versión discreta de la ecuación replicador-mutador puede tener dos tipos simples en consonancia con los dos mapas de replicadores escritos anteriormente:

x'_{i}=x_{i}+\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},

y

x'_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}}{\phi (x)}},

respectivamente.

La ecuación del replicador o la ecuación replicador-mutador puede extenderse ^{[ 8 ]} para incluir el efecto del retardo, que corresponde a la información diferida sobre el estado de la población o a la interacción entre los jugadores. La ecuación del replicador también puede generalizarse fácilmente a juegos asimétricos . Una generalización reciente que incorpora la estructura de la población se utiliza en la teoría evolutiva de grafos ^[⁹^] .

Véase también

Cálculo del equilibrio de Nash

Referencias

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Lecturas adicionales

Cressman, R. (2003). Dinámica evolutiva y juegos de forma extensiva. The MIT Press.
Taylor, PD; Jonker, L. (1978). "Estrategias estables evolutivas y dinámica de juegos". Mathematical Biosciences , 40 : 145–156.
Sandholm, William H. (2010). Juegos de población y dinámica evolutiva . Aprendizaje económico y evolución social, The MIT Press.

[1] Hofbauer, Josef; Sigmund, Karl (2003). "Dinámica de juegos evolutivos" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 40 (4): 479– 519. doi : 10.1090/S0273-0979-03-00988-1 . ISSN 0273-0979 .

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[3] Bomze, Immanuel M. (1995-04-01). "Ecuación de Lotka-Volterra y dinámica de replicadores: nuevos problemas en la clasificación". Cibernética Biológica . 72 (5): 447– 453. doi : 10.1007/BF00201420 . ISSN 1432-0770 . S2CID 18754189 .

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