Cadena regular

En matemáticas , y más específicamente en álgebra computacional y teoría de la eliminación , una cadena regular es un tipo particular de conjunto triangular de polinomios multivariables sobre un cuerpo, donde un conjunto triangular es una secuencia finita de polinomios tal que cada uno contiene al menos una indeterminación más que el anterior. La condición que debe satisfacer un conjunto triangular para ser una cadena regular es que, para cada k , cada cero común (en un cuerpo algebraicamente cerrado ) de los k primeros polinomios puede prolongarse a un cero común del ( k + 1) -ésimo polinomio. En otras palabras, las cadenas regulares permiten resolver sistemas de ecuaciones polinómicas resolviendo ecuaciones univariables sucesivas sin considerar diferentes casos.

Las cadenas regulares mejoran la noción de conjuntos característicos de Wu en el sentido de que proporcionan un mejor resultado con un método de cálculo similar.

Dado un sistema lineal , se puede convertir en un sistema triangular mediante la eliminación gaussiana . Para el caso no lineal, dado un sistema polinómico F sobre un cuerpo, se puede convertir (descomponer o triangularizar) en un conjunto finito de conjuntos triangulares, en el sentido de que la variedad algebraica V (F) se describe mediante estos conjuntos triangulares.

Un conjunto triangular puede simplemente describir el conjunto vacío . Para corregir este caso degenerado, se introdujo la noción de cadena regular, independientemente por Kalkbrener (1993), ^{[ 1 ]} Yang y Zhang (1994). Las cadenas regulares también aparecen en Chou y Gao (1992). Las cadenas regulares son conjuntos triangulares especiales que se utilizan en diferentes algoritmos para calcular descomposiciones de dimensión no mixta de variedades algebraicas. Sin utilizar factorización, estas descomposiciones tienen mejores propiedades que las producidas por el algoritmo de Wu . La definición original de Kalkbrener se basó en la siguiente observación: cada variedad irreducible está determinada unívocamente por uno de sus puntos genéricos y las variedades pueden representarse describiendo los puntos genéricos de sus componentes irreducibles. Estos puntos genéricos están dados por cadenas regulares.

Denotemos Q el cuerpo de los números racionales . En Q [ x ₁ , x ₂ , x ₃ ] con orden variable x ₁ < x ₂ < x ₃ ,

${\displaystyle T=\{x_{2}^{2}-x_{1}^{2},x_{2}(x_{3}-x_{1})\}}$

es un conjunto triangular y también una cadena regular. Dos puntos genéricos dados por T son ( a , a , a ) y ( a , − a , a ) donde a es trascendental sobre Q . Por lo tanto, hay dos componentes irreducibles, dadas por { x ₂ − x ₁ , x ₃ − x ₁ } y { x ₂ + x ₁ , x ₃ − x ₁ } , respectivamente. Nótese que: (1) el contenido del segundo polinomio es x ₂ , que no contribuye a los puntos genéricos representados y por lo tanto puede eliminarse; (2) la dimensión de cada componente es 1, el número de variables libres en la cadena regular.

Las variables en el anillo polinomial

${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

siempre se ordenan como x ₁ < ⋯ < x _n . Un polinomio no constante f en ${\displaystyle R}$puede verse como un polinomio univariado en su variable mayor. La variable mayor en f se llama su variable principal, denotada por mvar ( f ). Sea u la variable principal de f y escríbala como

${\displaystyle f=a_{e}u^{e}+\cdots +a_{0},}$

donde e es el grado de f con respecto a u y${\displaystyle a_{e}}$es el coeficiente principal de f con respecto a u . Entonces, el valor inicial de f es${\displaystyle a_{e}}$y e es su grado principal.

• Conjunto triangular

Un subconjunto no vacío T de${\displaystyle R}$Un conjunto triangular es aquel cuyos polinomios no son constantes y tienen variables principales distintas. Por lo tanto, un conjunto triangular es finito y tiene una cardinalidad máxima de n .

• Cadena regular

Sea T = { t ₁ , ..., t _s } un conjunto triangular tal que mvar ( t ₁ ) < ⋯ < mvar ( t _s ) ,${\displaystyle h_{i}}$Sea la inicial de t _i y h el producto de h _i . Entonces T es una cadena regular si

${\displaystyle \mathrm {resultante} (h,T)=\mathrm {resultante} (\cdots (\mathrm {resultante} (h,t_{s}),\ldots ,t_{i})\cdots )\neq 0,}$

donde cada resultante se calcula con respecto a la variable principal de t _i , respectivamente. Esta definición proviene de Yang y Zhang, que tiene un marcado carácter algorítmico.

• Cuasicomponente e ideal saturado de una cadena regular

El cuasicomponente W ( T ) descrito por la cadena regular T es

${\displaystyle W(T)=V(T)\setminus V(h)}$, eso es,

la diferencia de conjuntos de las variedades V ( T ) y V ( h ). El objeto algebraico adjunto de una cadena regular es su ideal saturado.

${\displaystyle \mathrm {sat} (T)=(T):h^{\infty }.}$

Un resultado clásico es que el cierre de Zariski de W ( T ) es igual a la variedad definida por sat( T ), es decir,

${\displaystyle {\overline {W(T)}}=V(\mathrm {sat} (T)),}$

y su dimensión es n − | T |, la diferencia entre el número de variables y el número de polinomios en T .

• Descomposiciones triangulares

En general, hay dos maneras de descomponer un sistema polinomial F. La primera es descomponerlo de forma perezosa, es decir, solo representar sus puntos genéricos en el sentido (de Kalkbrener),

${\displaystyle {\sqrt {(F)}}=\bigcap _{i=1}^{e}{\sqrt {\mathrm {sat} (T_{i})}}.}$

La segunda consiste en describir todos los ceros en el sentido de Lazard ,

${\displaystyle V(F)=\bigcup _{i=1}^{e}W(T_{i}).}$

Existen diversos algoritmos disponibles para realizar descomposiciones triangulares en ambos sentidos.

Sea T una cadena regular en el anillo de polinomios R.

• El ideal saturado sat( T ) es un ideal no mezclado con dimensión n − | T |.
• Una cadena regular posee una fuerte propiedad de eliminación en el sentido de que:

${\displaystyle \mathrm {sat} (T\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}])=\mathrm {sat} (T)\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}].}$

• Un polinomio p está en sat( T ) si y solo si p es pseudoreducido a cero por T , es decir,

${\displaystyle p\in \mathrm {sat} (T)\iff \mathrm {prem} (p,T)=0.}$

Por lo tanto, la prueba de pertenencia para sat( T ) es algorítmica.

• Un polinomio p es un divisor de cero módulo sat( T ) si y solo si${\displaystyle \mathrm {prem} (p,T)\neq 0}$y${\displaystyle \mathrm {resultante} (p,T)=0}$.

Por lo tanto, la prueba de regularidad para sat( T ) es algorítmica.

• Dado un ideal primo P , existe una cadena regular C tal que P = sat( C ).
• Si el primer elemento de una cadena regular C es un polinomio irreducible y los demás son lineales en su variable principal, entonces sat( C ) es un ideal primo.
• Por el contrario, si P es un ideal primo, entonces, después de casi todos los cambios lineales de variables, existe una cadena regular C de la forma precedente tal que P = sat( C ).
• Un conjunto triangular es una cadena regular si y solo si es un conjunto característico de Ritt de su ideal saturado.

• Método de Wu para el conjunto de características
• Base de Gröbner
• Sistema semialgebraico regular
• Descomposición triangular

• P. Aubry, D. Lazard, M. Moreno Maza. Sobre las teorías de conjuntos triangulares . Journal of Symbolic Computation, 28(1 – 2):105 – 124, 1999.
• F. Boulier, F. Lemaire y M. Moreno Maza. Teoremas conocidos sobre sistemas triangulares y el principio D5 . Transgressive Computing 2006, Granada, España.
• E. Hubert. Notas sobre conjuntos triangulares y algoritmos de descomposición por triangulación I: Sistemas polinomiales. LNCS, volumen 2630, Springer-Verlag Heidelberg.
• F. Lemaire, M. Moreno Maza y Y. Xie. La biblioteca RegularChains. Conferencia Maple 2005.
• M. Kalkbrener: Propiedades algorítmicas de los anillos de polinomios . J. Symb. Comput. 26(5): 525 – 581 (1998).
• D. Wang. Cálculo de sistemas triangulares y sistemas regulares . Journal of Symbolic Computation 30(2) (2000) 221 – 236.
• Yang, L., Zhang, J. (1994). Búsqueda de dependencia entre ecuaciones algebraicas: un algoritmo aplicado al razonamiento automatizado . Inteligencia artificial en matemáticas, págs.  14715, Oxford University Press .