Teoría de Regge

En física cuántica , la teoría de Regge ( / ˈ r ɛ dʒ eɪ / REJ -ay , italiano: [ ˈrɛddʒe ] ) es el estudio de las propiedades analíticas de la dispersión en función del momento angular , donde el momento angular no está restringido a ser un múltiplo entero de ħ, sino que puede tomar cualquier valor complejo . La teoría no relativista fue desarrollada por Tullio Regge en 1959. ^{[ 1 ]}

El ejemplo más sencillo de polos de Regge lo proporciona el tratamiento mecánico cuántico del potencial de Coulomb.${\displaystyle V(r)=-e^{2}/(4\pi \epsilon _ {0}r)}$o, expresado de otra manera, mediante el tratamiento mecánico cuántico de la unión o dispersión de un electrón de masa${\displaystyle m}$y carga eléctrica${\displaystyle -e}$de un protón de masa${\displaystyle M}$y cobrar${\displaystyle +e}$La energía${\displaystyle E}$La energía de enlace del electrón al protón es negativa, mientras que la energía de dispersión es positiva. La fórmula para la energía de enlace es la expresión

${\displaystyle E\rightarrow E_{N}=-{\frac {2m'\pi ^{2}e^{4}}{h^{2}N^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}=-{\frac {13.6\,\mathrm {eV} }{N^{2}}},\;\;\;m^{'}={\frac {mM}{M+m}},}$

dónde${\displaystyle N=1,2,3,...}$,${\displaystyle h}$es la constante de Planck y${\displaystyle \epsilon _{0}}$es la permitividad del vacío. El número cuántico principal${\displaystyle N}$En mecánica cuántica (mediante la solución de la ecuación de Schrödinger radial ) se encuentra que viene dada por${\displaystyle N=n+l+1}$, dónde${\displaystyle n=0,1,2,...}$es el número cuántico radial y${\displaystyle l=0,1,2,3,...}$el número cuántico del momento angular orbital. Resolviendo la ecuación anterior para${\displaystyle l}$, se obtiene la ecuación

${\displaystyle l\rightarrow l(E)=-n+g(E),\;\;g(E)=-1+i{\frac {\pi e^{2}}{4\pi \epsilon _ {0}h}}(2m'/E)^{1/2}.}$

Considerado como una función compleja de${\displaystyle E}$Esta expresión describe en el complejo${\displaystyle l}$-Plano, una trayectoria que se denomina trayectoria de Regge . Por lo tanto, en esta consideración, el momento orbital puede asumir valores complejos.

Las trayectorias de Regge se pueden obtener para muchos otros potenciales, en particular también para el potencial de Yukawa . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

Las trayectorias de Regge aparecen como polos de la amplitud de dispersión o en la relacionada ${\displaystyle S}$-matriz. En el caso del potencial de Coulomb considerado anteriormente,${\displaystyle S}$La matriz viene dada por la siguiente expresión, como puede comprobarse consultando cualquier libro de texto sobre mecánica cuántica:

${\displaystyle S={\frac {\Gamma (lg(E))}{\Gamma (l+g(E))}}e^{-i\pi l},}$

dónde${\displaystyle \Gamma (x)}$es la función gamma , una generalización del factorial${\displaystyle (x-1)!}$Esta función gamma es una función meromorfa de su argumento con polos simples en${\displaystyle x=-n,n=0,1,2,...}$. Por lo tanto, la expresión para${\displaystyle S}$(la función gamma en el numerador) posee polos precisamente en aquellos puntos que vienen dados por la expresión anterior para las trayectorias de Regge; de ​​ahí el nombre de polos de Regge.

El resultado principal de la teoría es que la amplitud de dispersión para la dispersión potencial crece en función del coseno.${\displaystyle z}$del ángulo de dispersión como una potencia que cambia a medida que cambia la energía de dispersión:

${\displaystyle A(z)\propto z^{l(E^{2})}}$

dónde${\displaystyle l(E^{2})}$es el valor no entero del momento angular de un posible estado ligado con energía${\displaystyle E}$Se determina resolviendo la ecuación de Schrödinger radial e interpola suavemente la energía de las funciones de onda con diferente momento angular pero con el mismo número de excitación radial . La función de trayectoria es una función de${\displaystyle s=E^{2}}$para generalización relativista. La expresión${\displaystyle l(s)}$se conoce como la función de trayectoria de Regge, y cuando es un número entero, las partículas forman un estado ligado real con este momento angular. La forma asintótica se aplica cuando${\displaystyle z}$es mucho mayor que uno, lo cual no es un límite físico en la dispersión no relativista.

Poco después, Stanley Mandelstam señaló que en la relatividad el límite puramente formal de${\displaystyle z}$grande está cerca de un límite físico: el límite de grande${\displaystyle t}$. Grande${\displaystyle t}$Esto significa una gran energía en el canal cruzado, donde una de las partículas entrantes tiene un momento energético que la convierte en una antipartícula saliente energética. Esta observación transformó la teoría de Regge de una curiosidad matemática en una teoría física: exige que la función que determina la tasa de disminución de la amplitud de dispersión para la dispersión partícula-partícula a altas energías sea la misma que la función que determina las energías de los estados ligados para un sistema partícula-antipartícula en función del momento angular. ^{[ 5 ]}

El cambio requirió intercambiar la variable de Mandelstam.${\displaystyle s}$, que es el cuadrado de la energía, para${\displaystyle t}$, que es la transferencia de momento al cuadrado, que para colisiones suaves elásticas de partículas idénticas es s veces uno menos el coseno del ángulo de dispersión. La relación en el canal cruzado se convierte en

${\displaystyle A(z)\propto s^{l(t)}}$

lo que dice que la amplitud tiene una ley de potencia decreciente diferente en función de la energía en diferentes ángulos correspondientes, donde los ángulos correspondientes son aquellos con el mismo valor de${\displaystyle t}$Predice que la función que determina la ley de potencias es la misma que interpola las energías donde aparecen las resonancias. El rango de ángulos donde la dispersión puede describirse eficazmente mediante la teoría de Regge se reduce a un cono estrecho alrededor de la línea del haz a energías elevadas.

En 1960, Geoffrey Chew y Steven Frautschi conjeturaron, a partir de datos limitados, que las partículas que interactuaban fuertemente tenían una dependencia muy simple de la masa al cuadrado con respecto al momento angular: las partículas caen en familias donde las funciones de trayectoria de Regge eran líneas rectas:${\displaystyle l(s)=ks}$con la misma constante${\displaystyle k}$para todas las trayectorias. Posteriormente se entendió que las trayectorias rectilíneas de Regge surgían de puntos finales sin masa en cuerdas relativistas en rotación. Dado que una descripción de Regge implicaba que las partículas eran estados ligados, Chew y Frautschi concluyeron que ninguna de las partículas que interactuaban fuertemente era elemental.

Experimentalmente, el comportamiento de dispersión cerca del haz disminuyó con el ángulo, como explica la teoría de Regge, lo que llevó a muchos a aceptar que las partículas en las interacciones fuertes eran compuestas. Gran parte de la dispersión era difractiva , lo que significa que las partículas apenas se dispersaban, permaneciendo cerca de la línea del haz después de la colisión. Vladimir Gribov observó que el límite de Froissart, combinado con la suposición de la máxima dispersión posible, implicaba que existía una trayectoria de Regge que daría lugar a secciones transversales que aumentaban logarítmicamente, una trayectoria conocida actualmente como pomerón . Posteriormente, formuló una teoría de perturbación cuantitativa para la dispersión cerca de la línea del haz, dominada por el intercambio de múltiples pomerones.

A partir de la observación fundamental de que los hadrones son compuestos, surgieron dos puntos de vista. Algunos defendieron correctamente la existencia de partículas elementales, hoy llamadas quarks y gluones, que conformaban una teoría cuántica de campos en la que los hadrones eran estados ligados. Otros, también correctamente, creían que era posible formular una teoría sin partículas elementales, donde todas las partículas eran estados ligados que seguían trayectorias de Regge y se dispersaban de forma autoconsistente. Esta teoría se denominó teoría de la matriz S.

El enfoque más exitoso de la matriz S se centró en la aproximación de resonancia estrecha, la idea de que existe una expansión consistente a partir de partículas estables en trayectorias de Regge rectilíneas. Tras muchos intentos fallidos, Richard Dolen, David Horn y Christoph Schmid comprendieron una propiedad crucial que llevó a Gabriele Veneziano a formular una amplitud de dispersión autoconsistente, la primera teoría de cuerdas . Mandelstam observó que el límite donde las trayectorias de Regge son rectilíneas es también el límite donde la vida útil de los estados es larga.

Como teoría fundamental de las interacciones fuertes a altas energías, la teoría de Regge gozó de cierto interés en la década de 1960, pero fue superada en gran medida por la cromodinámica cuántica . Como teoría fenomenológica, sigue siendo una herramienta indispensable para comprender la dispersión cerca de la línea del haz y la dispersión a energías muy elevadas. La investigación moderna se centra tanto en su conexión con la teoría de perturbaciones como con la teoría de cuerdas.

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