Teorema de reflexión

En teoría algebraica de números , un teorema de reflexión o Spiegelungssatz ( del alemán Spiegel y Satz ) es uno de una colección de teoremas que relacionan los tamaños de diferentes grupos de clases ideales (o grupos de clases de rayos ) , o los tamaños de diferentes componentes isotípicas de un grupo de clases. El ejemplo original se debe a Ernst Eduard Kummer , quien demostró que el número de clases del campo ciclotómico${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)}$, con p un número primo, será divisible por p si el número de clase del subcampo real máximo${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)^{+}}$es. Otro ejemplo se debe a Scholz. ^{[ 1 ]} Una versión simplificada de su teorema establece que si 3 divide el número de clase de un campo cuadrático real${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}$, entonces 3 también divide el número de clase del campo cuadrático imaginario${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {-3d}}\right)}$.

Ambos resultados anteriores se generalizan mediante el "Spiegelungssatz" de Leopoldt , que relaciona los rangos p de diferentes componentes isotípicas del grupo de clases de un cuerpo numérico considerado como un módulo sobre el grupo de Galois de una extensión de Galois.

Sea L / K una extensión de Galois finita de cuerpos numéricos, con grupo G , grado primo a p y L conteniendo las raíces p -ésimas de la unidad. Sea A el subgrupo p -Sylow del grupo de clases de L. Sea φ recorre los caracteres irreducibles del anillo de grupo Q _p [ G ] y sea A _φ el sumando directo correspondiente de A. Para cualquier φ, sea q = p ^φ(1) y sea el G -rango e _φ el exponente en el índice

${\displaystyle [A_{\phi}:A_{\phi}^{p}]=q^{e_{\phi}}.}$

Sea ω el carácter de G.

${\displaystyle \zeta ^{g}=\zeta ^{\omega (g)}{\text{ para }}\zeta \in \mu _{p}.}$

La reflexión ( Spiegelung ) φ ^* está definida por

${\displaystyle \phi ^{*}(g)=\omega (g)\phi (g^{-1}).}$

Sea E el grupo unitario de K. Decimos que ε es "primario" si${\displaystyle K({\sqrt[{p}]{\epsilon }})/K}$es no ramificado, y sea E ₀ el grupo de unidades primarias módulo E ^p . Sea δ _φ el G -rango del componente φ de E ₀ .

El Spiegelungssatz afirma que

${\displaystyle |e_{\phi ^{*}}-e_{\phi }|\leq \delta _{\phi }.}$

Oriat y Oriat-Satge dieron extensiones de este Spiegelungssatz, donde los grupos de clases ya no estaban asociados con caracteres del grupo de Galois de K / k , sino más bien con ideales en un anillo de grupo sobre el grupo de Galois de K / k . El Spiegelungssatz de Leopoldt fue generalizado en una dirección diferente por Kuroda, quien lo extendió a un enunciado sobre grupos de clases de rayos . Esto fue desarrollado más tarde en el muy general " teorema de reflexión T - S " de Georges Gras . ^{[ 2 ]} Kenkichi Iwasawa también proporcionó un teorema de reflexión de la teoría de Iwasawa .

• Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encycl. Math. Sci. Vol.  62 (2.ª reimpresión de la 1.ª  ed.). Springer-Verlag . pp. 147–149 . ISBN  3-540-63003-1. Zbl 0819.11044 .