Teorema de la esfera de Reeb

En matemáticas , el teorema de la esfera de Reeb , llamado así en honor a Georges Reeb , establece que

Una variedad conexa orientada y cerrada M ⁿ que admite una foliación singular que tiene sólo centros es homeomorfa a la esfera S ⁿ y la foliación tiene exactamente dos singularidades. 

Una singularidad de una foliación F es de tipo Morse si en su pequeña vecindad todas las hojas de la foliación son conjuntos de nivel de una función Morse , siendo la singularidad un punto crítico de la función. La singularidad es un centro si es un extremo local de la función; en caso contrario, la singularidad es una silla de montar .

El número de centros c y el número de sillas , específicamente , está estrechamente relacionado con la topología de la variedad. ${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización cs}$

Denotamos , el índice de una singularidad , donde k es el índice del punto crítico correspondiente de una función de Morse. En particular, un centro tiene índice 0, el índice de una silla es al menos 1. ${\displaystyle \operatorname {ind} p=\min(k,nk)}$${\estilo de visualización p}$

Una foliación de Morse F en una variedad M es una foliación singular de codimensión uno orientada transversalmente de clase con singularidades aisladas tales que: ${\estilo de visualización C^{2}}$

• cada singularidad de F es de tipo Morse,
• cada hoja singular L contiene una singularidad única  p ; además, si entonces no está conexa.${\displaystyle \nombreoperador {ind} p=1}$${\displaystyle L\setmenos p}$

Este es el caso , el caso sin sillines. ${\displaystyle c>s=0}$

Teorema: ^[1] Sea una variedad cerrada, orientada y conexa de dimensión . Supóngase que admite una codimensión orientada transversalmente con un conjunto no vacío de singularidades todas ellas centros. Entonces el conjunto singular de consiste en dos puntos y es homeomorfo a la esfera$Estilo de visualización Mn$${\displaystyle n\geq 2}$$Estilo de visualización Mn$${\estilo de visualización C^{1}}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización F}$$Estilo de visualización Mn$$Estilo de visualización Sn$ .

Es una consecuencia del teorema de estabilidad de Reeb .

Un caso más general es${\displaystyle c>s\geq 0.}$

En 1978, Edward Wagneur generalizó el teorema de la esfera de Reeb a las foliaciones de Morse con sillas de montar. Demostró que el número de centros no puede ser demasiado grande en comparación con el número de sillas de montar, en particular, . Por lo tanto, hay exactamente dos casos en los que : ${\displaystyle c\leq s+2}$${\displaystyle c>s}$

(1) ${\displaystyle c=s+2,}$

(2) ${\displaystyle c=s+1.}$

Obtuvo una descripción de la variedad admitiendo una foliación con singularidades que satisfacen (1).

Teorema: ^[2] Sea una variedad compacta conexa que admite una foliación de Morse con centros y sillas de montar. Entonces . $Estilo de visualización Mn$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización s}$${\displaystyle c\leq s+2}$ En el caso ,${\displaystyle c=s+2}$

• ${\estilo de visualización M}$es homeomorfo a ,$Estilo de visualización Sn$
• Todas las sillas de montar tienen índice 1,
• Cada hoja regular es difeomorfa a .$Estilo de visualización S^{n-1}}$

Finalmente, en 2008, César Camacho y Bruno Scardua consideraron el caso (2), lo cual es posible en un número reducido de dimensiones bajas. ${\displaystyle c=s+1}$

Teorema: ^[3] Sea una variedad compacta conexa y una foliación de Morse en . Si , entonces$Estilo de visualización Mn$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización s=c+1}$

• ${\estilo de visualización n=2,4,8}$o ,${\estilo de visualización 16}$
• $Estilo de visualización Mn$es una variedad Eells-Kuiper .

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