Distribución inversa

La distribución recíproca tiene una función de densidad de la forma ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ para }}0<a<x<b,}$

dónde${\displaystyle \propto \!\,}$significa "es proporcional a" . De ello se deduce que la distribución inversa en este caso es de la forma

${\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},}$

lo cual es nuevamente una distribución recíproca.

Si la variable aleatoria original X se distribuye uniformemente en el intervalo ( a , b ), donde a > 0, entonces la variable recíproca Y = 1 / X tiene la distribución recíproca que toma valores en el rango ( b ^{- 1} , a ^{- 1} ), y la función de densidad de probabilidad en este rango es

${\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{b-a}},}$

y es cero en cualquier otro lugar.

La función de distribución acumulativa del recíproco, dentro del mismo rango, es

${\displaystyle G(y)={\frac {b-y^{-1}}{b-a}}.}$

Por ejemplo, si X se distribuye uniformemente en el intervalo (0,1), entonces Y = 1 / X tiene densidad${\displaystyle g(y)=y^{-2}}$ y función de distribución acumulativa${\displaystyle G(y)={1-y^{-1}}}$cuando${\displaystyle y>1.}$

Sea X una variable aleatoria con distribución t y k grados de libertad . Entonces su función de densidad es

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

La densidad de Y = 1 / X es

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

Con k = 1, las distribuciones de X y 1  / X son idénticas ( X tiene entonces una distribución de Cauchy (0,1)). Si k > 1, entonces la distribución de 1 / X es bimodal .   

Si variable${\displaystyle X}$sigue una distribución normal${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, entonces el inverso o recíproco${\displaystyle Y={\frac {1}{X}}}$sigue una distribución normal recíproca: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$

Si la variable X sigue una distribución normal estándar${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, entonces Y  =  1/ X sigue una distribución normal estándar recíproca , de cola pesada y bimodal , ^{[ 2 ]} con modas en${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$y densidad

${\displaystyle f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}}$

y los momentos de primer orden y de orden superior no existen. ^{[ 2 ]} Para tales distribuciones inversas y para distribuciones de razón , aún se pueden definir probabilidades para intervalos, que se pueden calcular ya sea mediante simulación de Monte Carlo o, en algunos casos, utilizando la transformación de Geary-Hinkley. ^{[ 3 ]}

Sin embargo, en el caso más general de una función recíproca desplazada${\displaystyle 1/(p-B)}$, para${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$siguiendo una distribución normal general, entonces las estadísticas de media y varianza existen en un sentido de valor principal , si la diferencia entre el polo${\displaystyle p}$y la media${\displaystyle \mu }$es de valor real. La media de esta variable aleatoria transformada ( distribución normal desplazada recíproca ) es entonces, de hecho, la función de Dawson escalada : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).}$

Por el contrario, si el cambio${\displaystyle p-\mu }$es puramente compleja, la media existe y es una función de Faddeeva escalada , cuya expresión exacta depende del signo de la parte imaginaria,${\displaystyle \operatorname {Im} (p-\mu )}$En ambos casos, la varianza es una función simple de la media. ^{[ 5 ]} Por lo tanto, la varianza debe considerarse en el sentido de valor principal si${\displaystyle p-\mu }$es real, mientras que existe si la parte imaginaria de${\displaystyle p-\mu }$es distinto de cero. Nótese que estas medias y varianzas son exactas, ya que no recurren a la linealización de la razón. La covarianza exacta de dos razones con un par de polos diferentes${\displaystyle p_{1}}$y${\displaystyle p_{2}}$También está disponible. ^{[ 6 ]} El caso de la inversa de una variable normal compleja${\displaystyle B}$, desplazado o no, exhibe características diferentes. ^{[ 4 ]}

Si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria con distribución exponencial y parámetro de tasa${\displaystyle \lambda }$, entonces${\displaystyle Y=1/X}$tiene la siguiente función de distribución acumulativa:${\displaystyle F_{Y}(y)=e^{-\lambda /y}}$para${\displaystyle y>0}$Cabe señalar que el valor esperado de esta variable aleatoria no existe. La distribución exponencial recíproca se utiliza en el análisis de sistemas de comunicación inalámbrica con desvanecimiento.

Si X es una variable aleatoria con distribución de Cauchy ( μ , σ ), entonces 1 / X es una variable aleatoria de Cauchy ( μ / C , σ / C ) donde C = μ ² + σ ² .

Si X es una variable aleatoria con distribución F ( ν ₁ , ν ₂ ) , entonces 1 / X es una variable aleatoria con distribución F ( ν ₂ , ν _{1 ).}

Si${\displaystyle X}$se distribuye según una distribución binomial con ${\displaystyle n}$número de ensayos y probabilidad de éxito${\displaystyle p}$Por lo tanto, no se conoce una fórmula cerrada para la distribución recíproca. Sin embargo, podemos calcular la media de esta distribución.

${\displaystyle E\left[{\frac {1}{(1+X)}}\right]={\frac {1}{p(n+1)}}\left(1-(1-p)^{n+1}\right)}$

Se conoce una aproximación asintótica para los momentos no centrales de la distribución recíproca. ^{[ 7 ]}

${\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}$

donde O() y o() son las funciones de orden o grande y pequeño y${\displaystyle a}$es un número real.

Para una distribución triangular con límite inferior a , límite superior b y moda c , donde a  < b y a ≤ c ≤ b , la media del recíproco viene dada por     

${\displaystyle \mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{a-c}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}}$

y la varianza por

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{a-c}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{b-c}}\right)}{a-b}}-\mu ^{2}}$.

Ambos momentos del recíproco solo se definen cuando el triángulo no cruza el cero, es decir, cuando a , b y c son todos positivos o todos negativos.

Otras distribuciones inversas incluyen

distribución chi-cuadrado inversa

distribución gamma inversa

distribución inversa de Wishart

distribución gamma de matriz inversa