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Articulo de referencia

problema de Rayleigh

En dinámica de fluidos , el problema de Rayleigh, también conocido como el primer problema de Stokes , consiste en determinar el flujo generado por el movimiento repentino de un...

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En dinámica de fluidos , el problema de Rayleigh, también conocido como el primer problema de Stokes , consiste en determinar el flujo generado por el movimiento repentino de una placa infinitamente larga desde el reposo. Recibe su nombre de Lord Rayleigh y Sir George Stokes . Se considera uno de los problemas transitorios más sencillos que cuenta con una solución exacta para las ecuaciones de Navier-Stokes . El movimiento impulsivo de una placa semiinfinita fue estudiado por Keith Stewartson . [ 1 ]

Descripción del flujo

Consideremos una placa infinitamente larga que de repente se pone en movimiento con velocidad constante.U{\displaystyle U}en elincógnita{\displaystyle x}dirección, que se encuentra eny=0{\displaystyle y=0}en un dominio infinito de fluido, que inicialmente está en reposo en todas partes. Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles se reducen a [ 2 ] [ 3 ]

∂tú∂t=ν∂2tú∂y2{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}

dóndeν{\displaystyle \nu }es la viscosidad cinemática . La condición inicial y la condición de no deslizamiento en la pared son

tú(y,0)=0,tú(0,t>0)=U,tú(∞,t>0)=0,{\displaystyle u(y,0)=0,\quad u(0,t>0)=U,\quad u(\infty ,t>0)=0,}

La última condición se debe al hecho de que el movimiento eny=0{\displaystyle y=0}No se percibe en el infinito. El flujo se debe únicamente al movimiento de la placa; no existe un gradiente de presión impuesto.

solución autosimilar

El problema en general es similar al problema de conducción de calor unidimensional. Por lo tanto, se puede introducir una variable autosimilar [ 4 ].

η=yνt,F(η)=túU{\displaystyle \eta ={\frac {y}{\sqrt {\nu t}}},\quad f(\eta )={\frac {u}{U}}}

Sustituyendo esto en la ecuación diferencial parcial, se reduce a una ecuación diferencial ordinaria.

F″+12ηF′=0{\displaystyle f''+{\frac {1}{2}}\eta f'=0}

con condiciones de contorno

F(0)=1,F(∞)=0{\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0}

La solución al problema anterior se puede expresar en términos de una función de error complementaria.

tú=UmirFdo(y4νt){\displaystyle u=U\mathrm {erfc} \left({\frac {y}{\sqrt {4\nu t}}}\right)}

La fuerza por unidad de área ejercida sobre la placa es

F=μ(∂tú∂y)y=0=−ρνU2πt{\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}=-\rho {\sqrt {\frac {\nu U^{2}}{\pi t}}}}

Movimiento arbitrario de la pared

En lugar de utilizar una condición de contorno escalonada para el movimiento de la pared, la velocidad de la pared se puede prescribir como una función arbitraria del tiempo, es decir,U=F(t){\displaystyle U=f(t)}. Entonces la solución viene dada por [ 5 ]

tú(y,t)=∫0tF(τ)2πνy(t−τ)3/2mi−y24ν(t−τ)dτ.{\displaystyle u(y,t)=\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )}{2{\sqrt {\pi \nu }}}}{\frac {y}{(t-\tau )^{3/2}}}e^{-{\frac {y^{2}}{4\nu (t-\tau )}}}d\tau .}

El problema de Rayleigh en geometría cilíndrica

Cilindro giratorio

Consideremos un cilindro infinitamente largo de radioa{\displaystyle a}comienza a girar repentinamente en el momentot=0{\displaystyle t=0}con una velocidad angularΩ{\displaystyle \Omega }. Entonces la velocidad en elθ{\displaystyle \theta }La dirección es dada por

vθ=aΩ2πi∫−i∞i∞K1(rs/ν)K1(as/ν)mistdss{\displaystyle v_{\theta }={\frac {a\Omega }{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{1}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}}

dóndeK1{\displaystyle K_{1}}es la función de Bessel modificada de segundo tipo. Comot→∞{\displaystyle t\rightarrow \infty }La solución se aproxima a la de un vórtice rígido. La fuerza por unidad de área ejercida sobre el cilindro es

F=μ(∂vθ∂r−vθr)r=a=ρa2Ωtmi−a22νtI0(a22νt)−2μΩ{\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {v_{\theta }}{r}}\right)_{r=a}={\frac {\rho a^{2}\Omega }{t}}e^{-{\frac {a^{2}}{2\nu t}}}I_{0}\left({\frac {a^{2}}{2\nu t}}\right)-2\mu \Omega }

dóndeI0{\displaystyle I_{0}}es la función de Bessel modificada de primer tipo.

Cilindro deslizante

También se dispone de una solución exacta cuando el cilindro comienza a deslizarse en la dirección axial con velocidad constante.U{\displaystyle U}. Si consideramos que el eje del cilindro está enincógnita{\displaystyle x}dirección, entonces la solución viene dada por

tú=U2πi∫−i∞i∞K0(rs/ν)K0(as/ν)mistdss.{\displaystyle u={\frac {U}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{0}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Stewartson, KT (1951). Sobre el movimiento impulsivo de una placa plana en un fluido viscoso. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 4(2), 182-198.
  2. ↑ Batchelor, George Keith. Introducción a la dinámica de fluidos. Cambridge University Press, 2000.
  3. ↑ Lagerstrom, Paco Axel. Teoría del flujo laminar. Princeton University Press, 1996.
  4. ↑ Acheson, David J. (1990) Dinámica elemental de fluidos , Oxford University Press
  5. ↑ Dryden, Hugh L., Francis D. Murnaghan y Harry Bateman. Hidrodinámica. Nueva York: Dover Publications, 1956.