Teorema de la raíz racional

La ecuación cúbica general$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$ La ecuación con coeficientes enteros tiene tres soluciones en el plano complejo . Si la prueba de la raíz racional no encuentra soluciones racionales, entonces la única forma de expresar las soluciones algebraicamente es mediante raíces cúbicas . Pero si la prueba encuentra una solución racional r , entonces al factorizar ( x – r ) se obtiene un polinomio cuadrático cuyas dos raíces, encontradas con la fórmula cuadrática , son las dos raíces restantes del polinomio cúbico, evitando así las raíces cúbicas.

Dejar${\displaystyle P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$con${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {Z} ,a_{0},a_{n}\neq 0.}$

Supongamos que P ( p / q ) = 0 para algún número coprimo p , q ∈ ℤ : $${\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.}$$

Para eliminar los denominadores, multiplique ambos lados por q ⁿ : $${\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.}$$

Al desplazar el término a ₀ al lado derecho y factorizar p en el lado izquierdo se obtiene: $${\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}$$

Por lo tanto, p divide a ₀ q ⁿ . Pero p es coprimo con q y por lo tanto con q ⁿ , así que por el lema de Euclides p debe dividir al factor restante a ₀ .

Por otro lado, al desplazar el término a _n al lado derecho y factorizar q en el lado izquierdo se obtiene: $${\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}$$

Razonando como antes, se deduce que q divide a _n . ^{[ 1 ]}

Si existe un factor no trivial que divide a todos los coeficientes del polinomio, entonces se puede dividir por el máximo común divisor de los coeficientes para obtener un polinomio primitivo en el sentido del lema de Gauss ; esto no altera el conjunto de raíces racionales y solo refuerza las condiciones de divisibilidad. Dicho lema afirma que si el polinomio se factoriza en Q [ X ] , entonces también se factoriza en Z [ X ] como producto de polinomios primitivos. Ahora bien, cualquier raíz racional p / q corresponde a un factor de grado 1 en Q [ X ] del polinomio, y su representante primitivo es entonces qx − p , suponiendo que p y q son coprimos. Pero cualquier múltiplo en Z [ X ] de qx − p tiene un término principal divisible por q y un término constante divisible por p , lo que demuestra la afirmación. Este argumento muestra que, de manera más general, se puede suponer que cualquier factor irreducible de P tiene coeficientes enteros y coeficientes principales y constantes que dividen los coeficientes correspondientes de P. 

En el polinomio $${\displaystyle 2x^{3}+x-1,}$$ Cualquier raíz racional totalmente reducida debe tener un numerador que divida a 1 y un denominador que divida a 2. Por lo tanto, las únicas raíces racionales posibles son${\textstyle \pm {\tfrac {1}{2}}}$y${\textstyle \pm 1}$; dado que ninguna de estas expresiones iguala el polinomio a cero, no tiene raíces racionales.

En el polinomio $${\displaystyle x^{3}-7x+6}$$ Las únicas raíces racionales posibles tendrían un numerador que divida a 6 y un denominador que divida a 1, lo que limita las posibilidades a ±1, ±2, ±3 y ±6. De estas, 1, 2 y –3 igualan el polinomio a cero y, por lo tanto, son sus raíces racionales (de hecho, estas son sus únicas raíces, ya que un polinomio cúbico solo tiene tres raíces).

Cada raíz racional del polinomio $${\displaystyle P=3x^{3}-5x^{2}+5x-2}$$ debe ser uno de los 8 números $${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm {\tfrac {1}{3}},\pm {\tfrac {2}{3}}.}$$ Estos 8 posibles valores para x se pueden probar evaluando el polinomio. Resulta que hay exactamente una raíz racional, que es${\textstyle x=2/3.}$

Sin embargo, estos ocho cálculos pueden resultar bastante tediosos, y existen algunos trucos que permiten evitar algunos de ellos.

En primer lugar, si${\displaystyle x<0,}$Todos los términos de P se vuelven negativos y su suma no puede ser 0; por lo tanto, cada raíz es positiva y una raíz racional debe ser uno de los cuatro valores.${\textstyle 1,2,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}.}$

Uno tiene${\displaystyle P(1)=3-5+5-2=1.}$Por lo tanto, 1 no es una raíz. Además, si se establece x = 1 + t , se obtiene sin cálculo que${\displaystyle Q(t)=P(t+1)}$es un polinomio en t con el mismo primer coeficiente 3 y término constante 1. ^{[ 2 ]} El teorema de la raíz racional implica, por lo tanto, que una raíz racional de Q debe pertenecer a${\textstyle \{\pm 1,\pm {\frac {1}{3}}\},}$y por lo tanto que las raíces racionales de P satisfacen${\textstyle x=1+t\in \{2,0,{\tfrac {4}{3}},{\tfrac {2}{3}}\}.}$Esto demuestra una vez más que cualquier raíz racional de P es positiva, y los únicos candidatos restantes son 2 y 2/3 .

Para demostrar que 2 no es una raíz, basta con observar que si${\displaystyle x=2,}$entonces${\displaystyle 3x^{3}}$y${\displaystyle 5x-2}$son múltiplos de 8 , mientras que${\displaystyle -5x^{2}}$No lo es. Por lo tanto, su suma no puede ser cero.

Finalmente, solo${\displaystyle P(2/3)}$es necesario calcularlo para verificar que es una raíz del polinomio.

Si${\displaystyle a,b}$y${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}}}$son números enteros (${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}$), entonces ambos${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$y${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$debe ser un número entero.

Consideremos la ecuación cuadrática cuyas raíces son${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$y${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$:

$${\displaystyle (x-{\tfrac {a^{2}}{b}})(x-{\tfrac {b^{2}}{a}})=x^{2}-({\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}})x+{\tfrac {a^{2}}{b}}\cdot {\tfrac {b^{2}}{a}}.}$$

Simplifica los coeficientes:

• El coeficiente de${\displaystyle x}$es${\displaystyle m=-({\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}}),}$
• El término constante es${\displaystyle n={\tfrac {a^{2}}{b}}\cdot {\tfrac {b^{2}}{a}}=ab.}$

Por lo tanto, la ecuación queda así:$${\displaystyle x^{2}+mx+n=0,}$$dónde:

• ${\displaystyle m=-({\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}})}$, obviamente entero, como negación de un entero,
• ${\displaystyle n=ab}$, también entero, como el producto de dos enteros.

Aplique el teorema de la raíz racional:

${\displaystyle a,b}$dado que son números enteros (${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}$), es decir${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$y${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$son racionales. Si${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$es una raíz racional de la ecuación, entonces${\displaystyle q}$es un factor entero de la${\displaystyle x^{2}}$coeficiente, es decir de${\displaystyle 1}$. De este modo,${\displaystyle q=1}$. Por lo tanto, la raíz racional es un número entero. Por lo tanto,${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$y${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$son números enteros.