Coeficiente RV

En estadística, el coeficiente RV ^[1] es una generalización multivariada del coeficiente de correlación de Pearson al cuadrado (porque el coeficiente RV toma valores entre 0 y 1). ^[2] Mide la proximidad de dos conjuntos de puntos que pueden representarse en una matriz .

Los principales enfoques del análisis estadístico de datos multivariados pueden agruparse en un marco común en el que el coeficiente RV se maximiza sujeto a las restricciones pertinentes. En concreto, estas metodologías estadísticas incluyen: ^[1]

• análisis de componentes principales
• análisis de correlación canónica
• regresión multivariante
• clasificación estadística ( discriminación lineal ).

Una aplicación del coeficiente RV es en la neuroimagen funcional , donde puede medir la similitud entre series de exploraciones cerebrales de dos sujetos ^[3] o entre diferentes exploraciones de un mismo sujeto. ^[4]

La definición del coeficiente RV hace uso de ideas ^[5] relativas a la definición de cantidades de valores escalares que se denominan "varianza" y "covarianza" de variables aleatorias de valores vectoriales . Nótese que el uso estándar es tener matrices para las varianzas y covarianzas de variables aleatorias vectoriales. Dadas estas definiciones innovadoras, el coeficiente RV es entonces simplemente el coeficiente de correlación definido de la manera habitual.

Supongamos que X e Y son matrices de vectores aleatorios centrados (vectores columna) con una matriz de covarianza dada por

${\displaystyle \Sigma _{XY}=\nombre del operador {E} (XY^{\top })\,,}$

Entonces la covarianza de valor escalar (denotada por COVV) se define por ^[5]

${\displaystyle \operatorname {COVV} (X,Y)=\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})\,.}$

La varianza con valor escalar se define correspondientemente:

${\displaystyle \operatorname {VAV} (X)=\operatorname {Tr} (\Sigma _{XX}^{2})\,.}$

Con estas definiciones, la varianza y la covarianza tienen ciertas propiedades aditivas en relación con la formación de nuevas cantidades vectoriales al extender un vector existente con los elementos de otro. ^[5]

Entonces el coeficiente RV se define por ^[5]

${\displaystyle \mathrm {RV} (X,Y)={\frac {\operatorname {COVV} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {VAV} (X)\operatorname {VAV} (Y)} }}\,.}$

Aunque el coeficiente toma valores entre 0 y 1 por construcción, rara vez alcanza valores cercanos a 1 ya que el denominador suele ser demasiado grande con respecto al valor máximo alcanzable del denominador. ^[6]

Dados bloques diagonales conocidos y de dimensiones y respectivamente, asumiendo que sin pérdida de generalidad, se ha demostrado ^[7] que el numerador máximo alcanzable es donde (resp. ) denota la matriz diagonal de los valores propios de (resp. ) ordenados decrecientemente desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha y es la matriz . $Estilo de visualización: Sigma__{XX}$${\displaystyle \Sigma__{YY}}$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle q\veces q}$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Lambda _{X}\Pi \Lambda _{Y}),}$$Estilo de visualización: lambda__{X}$${\displaystyle \Lambda _{Y}}$$Estilo de visualización: Sigma__{XX}$${\displaystyle \Sigma__{YY}}$${\estilo de visualización \Pi}$${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle (I_{p}\ 0_{p\times (qp)})}$

A la luz de esto, Mordant y Segers ^[7] propusieron una versión ajustada del coeficiente RV en la que el denominador es el valor máximo alcanzable por el numerador. Se lee así:

${\displaystyle {\bar {\operatorname {RV} }}(X,Y)={\frac {\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})}{\operatorname {Tr} (\Lambda _{X}\Pi \Lambda _{Y})}}={\frac {\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})}{\sum _{j=1}^{min(p,q)}(\Lambda _{X})_{j,j}(\Lambda _{Y})_{j,j}}}.}$

El impacto de este ajuste es claramente visible en la práctica. ^[7]

• Coeficiente de congruencia
• Correlación de distancia