Función cuasisimétrica

En álgebra , y en particular en combinatoria algebraica , una función cuasisimétrica es cualquier elemento del anillo de funciones cuasisimétricas , que a su vez es un subanillo del anillo de series de potencias formales con un número contable de variables. Este anillo generaliza el anillo de funciones simétricas . Este anillo puede realizarse como un límite específico de los anillos de polinomios cuasisimétricos en n variables, cuando n tiende a infinito. Este anillo sirve como una estructura universal en la que las relaciones entre polinomios cuasisimétricos pueden expresarse de forma independiente del número n de variables (pero sus elementos no son ni polinomios ni funciones).

El anillo de funciones cuasisimétricas , denotado QSym, se puede definir sobre cualquier anillo conmutativo R, como el de los números enteros . Las funciones cuasisimétricas son series de potencias de grado acotado en variables.${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots }$con coeficientes en R , que son invariantes a traslaciones en el sentido de que el coeficiente del monomio${\displaystyle x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{k}^{\alpha _{k}}}$es igual al coeficiente del monomio${\displaystyle x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots x_{i_{k}}^{\alpha _{k}}}$para cualquier secuencia estrictamente creciente de enteros positivos ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}$indexando las variables y cualquier secuencia de enteros positivos${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})}$de exponentes. ^{[ 1 ]} Gran parte del estudio de las funciones cuasisimétricas se basa en el de las funciones simétricas .

Una función cuasisimétrica en un número finito de variables es un polinomio cuasisimétrico . Tanto los polinomios simétricos como los cuasisimétricos pueden caracterizarse en términos de acciones del grupo simétrico.${\displaystyle S_{n}}$ en un anillo de polinomios en${\displaystyle n}$variables${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$. Una de esas acciones de${\displaystyle S_{n}}$permuta variables, cambiando un polinomio${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$mediante el intercambio iterativo de pares${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$ de variables con índices consecutivos. Aquellos polinomios que no cambian con todos esos intercambios forman el subanillo de polinomios simétricos. Una segunda acción de${\displaystyle S_{n}}$Permuta condicionalmente las variables, cambiando un polinomio.${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ intercambiando pares${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$de variables excepto en monomios que contienen ambas variables. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Aquellos polinomios que no cambian con todos esos intercambios condicionales forman el subanillo de polinomios cuasisimétricos. Un polinomio cuasisimétrico en cuatro variables${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$es el polinomio

${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{4}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}.\,}$

El polinomio simétrico más simple que contiene estos monomios es

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{4}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}x_{4}+x_{1}x_{3}^{2}x_{4}+x_{2}x_{3}^{2}x_{4}\\{}+x_{1}x_{2}x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}x_{4}^{2}+x_{1}x_{3}x_{4}^{2}+x_{2}x_{3}x_{4}^{2}.\,\end{aligned}}}$

QSym es un álgebra R graduada , que se descompone como

${\displaystyle \operatorname {QSym} =\bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {QSym} _{n},\,}$

dónde${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}}$es el${\displaystyle R}$- espacio generado por todas las funciones cuasisimétricas que son homogéneas de grado${\displaystyle n}$Dos bases naturales para${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}}$son la base monomial${\displaystyle \{M_{\alpha }\}}$y la base fundamental${\displaystyle \{F_{\alpha }\}}$indexado por composiciones${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})}$de${\displaystyle n}$, denotado${\displaystyle \alpha \vDash n}$. La base monomial consta de${\displaystyle M_{0}=1}$y todas las series de poder formales

${\displaystyle M_{\alpha }=\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots x_{i_{k}}^{\alpha _{k}}.\,}$

(Tenga en cuenta que los elementos de la base monomial pueden no ser monomios).

La base fundamental consiste${\displaystyle F_{0}=1}$y todas las series de poder formales

${\displaystyle F_{\alpha }=\sum _{\alpha \succeq \beta }M_{\beta },\,}$

dónde${\displaystyle \alpha \succeq \beta }$significa que podemos obtener${\displaystyle \alpha }$sumando partes adyacentes de${\displaystyle \beta }$, por ejemplo, (3,2,4,2) ${\displaystyle \succeq }$ (3,1,1,1,2,1,2). Por lo tanto, cuando el anillo${\displaystyle R}$es el anillo de números racionales , uno tiene

${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}=\operatorname {span} _{\mathbb {Q} }\{M_{\alpha }\mid \alpha \vDash n\}=\operatorname {span} _{\mathbb {Q} }\{F_{\alpha }\mid \alpha \vDash n\}.\,}$

Entonces se puede definir el álgebra de funciones simétricas.${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{0}\oplus \Lambda _{1}\oplus \cdots }$como la subálgebra de QSym generada por las funciones simétricas monomiales${\displaystyle m_{0}=1}$y todas las series de poder formales${\displaystyle m_{\lambda }=\sum M_{\alpha },}$donde la suma se realiza sobre todas las composiciones${\displaystyle \alpha }$que se reorganizan en la partición entera${\displaystyle \lambda }$Además, tenemos${\displaystyle \Lambda _{n}=\Lambda \cap \operatorname {QSym} _{n}}$. Por ejemplo,${\displaystyle F_{(1,2)}=M_{(1,2)}+M_{(1,1,1)}}$y${\displaystyle m_{(2,1)}=M_{(2,1)}+M_{(1,2)}.}$

Otras bases importantes para funciones cuasisimétricas incluyen la base de funciones de Schur cuasisimétricas, ^{[ 4 ]} las sumas de potencias cuasisimétricas de "tipo I" y "tipo II", ^{[ 5 ]} y bases relacionadas con la enumeración en matroides. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Quasisymmetric functions have been applied in enumerative combinatorics, symmetric function theory, representation theory, and number theory. Applications of quasisymmetric functions include enumeration of P-partitions,^[8][9] permutations,^{[10][11][12][13]} tableaux,^[14] chains of posets,^[14][15] reduced decompositions in finite Coxeter groups (via Stanley symmetric functions),^[14] and parking functions.^[16] In symmetric function theory and representation theory, applications include the study of Schubert polynomials,^[17][18]Macdonald polynomials,^[19] Hecke algebras,^[20] and Kazhdan–Lusztig polynomials.^[21] Often quasisymmetric functions provide a powerful bridge between combinatorial structures and symmetric functions.

As a graded Hopf algebra, the dual of the ring of quasisymmetric functions is the ring of noncommutative symmetric functions. Every symmetric function is also a quasisymmetric function, and hence the ring of symmetric functions is a subalgebra of the ring of quasisymmetric functions.

The ring of quasisymmetric functions is the terminal object in category of graded Hopf algebras with a single character.^[22] Hence any such Hopf algebra has a morphism to the ring of quasisymmetric functions.

One example of this is the peak algebra.^[23]

• Taller de BIRS sobre funciones cuasisimétricas