Gráfico cuántico

En matemáticas y física , un grafo cuántico es una estructura lineal en forma de red de vértices conectados por aristas (es decir, un grafo ) en el que a cada arista se le asigna una longitud y donde se plantea una ecuación diferencial (o pseudodiferencial) en cada arista. Un ejemplo sería una red eléctrica que consta de líneas eléctricas (aristas) conectadas en estaciones transformadoras (vértices); las ecuaciones diferenciales describirían entonces el voltaje a lo largo de cada una de las líneas, con condiciones de contorno para cada arista proporcionadas en los vértices adyacentes que garantizan que la corriente agregada sobre todas las aristas se suma a cero en cada vértice.

Los grafos cuánticos fueron estudiados por primera vez por Linus Pauling como modelos de electrones libres en moléculas orgánicas en la década de 1930. También surgen en una variedad de contextos matemáticos, ^[1] por ejemplo, como sistemas modelo en el caos cuántico , en el estudio de guías de ondas , en cristales fotónicos y en la localización de Anderson , o como límite en la contracción de cables delgados. Los grafos cuánticos se han convertido en modelos destacados en la física mesoscópica utilizados para obtener una comprensión teórica de la nanotecnología . Otra noción más simple de grafos cuánticos fue introducida por Freedman et al. ^[2]

Además de resolver realmente las ecuaciones diferenciales planteadas en un gráfico cuántico para fines de aplicaciones concretas, las preguntas típicas que surgen son las de controlabilidad (qué entradas se deben proporcionar para llevar el sistema a un estado deseado, por ejemplo, proporcionar suficiente energía a todas las casas en una red eléctrica) e identificabilidad (cómo y dónde uno tiene que medir algo para obtener una imagen completa del estado del sistema, por ejemplo, medir la presión de una red de tuberías de agua para determinar si hay o no una tubería con fugas).

Un grafo métrico es un grafo que consta de un conjunto de vértices y un conjunto de aristas, donde cada arista se ha asociado con un intervalo de modo que es la coordenada en el intervalo, el vértice corresponde a y a o viceversa. La elección de qué vértice se encuentra en cero es arbitraria y la alternativa corresponde a un cambio de coordenada en la arista. El grafo tiene una métrica natural: para dos puntos en el grafo, es la distancia más corta entre ellos, donde la distancia se mide a lo largo de las aristas del grafo. ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización E}$${\ Displaystyle e = (v_ {1}, v_ {2}) \ en E}$${\displaystyle [0,L_{e}]}$$Estilo de visualización x_ {e}}$$estilo de visualización v_{1}$${\displaystyle x_{e}=0}$$estilo de visualización v_{2}$${\displaystyle x_{e}=L_{e}}$${\estilo de visualización x,y}$${\displaystyle \rho(x,y)}$

Grafos abiertos: en el modelo de grafo combinatorio, las aristas siempre unen pares de vértices; sin embargo, en un grafo cuántico también se pueden considerar aristas semiinfinitas. Estas son aristas asociadas con el intervalo asociado a un único vértice en . Un grafo con una o más de estas aristas abiertas se denomina grafo abierto. ${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle x_{e}=0}$

Los grafos cuánticos son grafos métricos equipados con un operador diferencial (o pseudodiferencial ) que actúa sobre funciones en el grafo. Una función en un grafo métrico se define como la -tupla de funciones en los intervalos. El espacio de Hilbert del grafo es donde el producto interno de dos funciones es ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización |E|}$$Estilo de visualización f(x)e$${\displaystyle \bigoplus _ {e\in E}L^{2}([0,L_{e}])}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{e\in E}\int _{0}^{L_{e}}f_{e}^{*}(x_{e})g_{e }(x_ {e})\,dx_ {e},}$

$Estilo de visualización L_ {e}}$puede ser infinito en el caso de una arista abierta. El ejemplo más simple de un operador en un grafo métrico es el operador de Laplace . El operador en una arista es donde es la coordenada en la arista. Para que el operador sea autoadjunto, se debe especificar un dominio adecuado. Esto se logra típicamente tomando el espacio de funciones de Sobolev en las aristas del grafo y especificando condiciones coincidentes en los vértices. ${\displaystyle -{\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x_{e}^{2}}}}$$Estilo de visualización x_ {e}}$ $Estilo de visualización H^{2}}$

El ejemplo trivial de condiciones coincidentes que hacen que el operador sea autoadjunto son las condiciones de contorno de Dirichlet para cada arista. Una función propia en una arista finita puede escribirse como ${\displaystyle f_{e}(0)=f_{e}(L_{e})=0}$

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=\sin \left({\frac {n\pi x_{e}}{L_{e}}}\right)}$

para entero . Si el gráfico es cerrado sin aristas infinitas y las longitudes de las aristas del gráfico son racionalmente independientes, entonces una función propia se sustenta en una única arista del gráfico y los valores propios son . Las condiciones de Dirichlet no permiten la interacción entre los intervalos, por lo que el espectro es el mismo que el del conjunto de aristas desconectadas. ${\estilo de visualización n}$${\displaystyle {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{e}^{2}}}}$

Las condiciones de coincidencia autoadjuntas más interesantes que permiten la interacción entre aristas son las condiciones de coincidencia de Neumann o naturales. Una función en el dominio del operador es continua en todas partes del gráfico y la suma de las derivadas salientes en un vértice es cero. ${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle \sum _{e\sim v}f'(v)=0\ ,}$

donde si el vértice está en y si está en . ${\displaystyle f'(v)=f'(0)}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f'(v)=-f'(L_{e})}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle x=L_{e}}$

También se han estudiado las propiedades de otros operadores en gráficos métricos.

• Estos incluyen la clase más general de operadores de Schrödinger,

${\displaystyle \left(i{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x_{e}}}+A_{e}(x_{e})\right)^{2}+V_{e}(x_{e})\ ,}$

donde es un "potencial vectorial magnético" en el borde y es un potencial escalar. $Estilo de visualización A_e$${\displaystyle V_{e}}$

• Otro ejemplo es el operador de Dirac en un gráfico, que es un operador con valores matriciales que actúa sobre funciones con valores vectoriales que describen la mecánica cuántica de partículas con un momento angular intrínseco de la mitad, como el electrón .
• El operador de Dirichlet a Neumann en un gráfico es un operador pseudodiferencial que surge en el estudio de los cristales fotónicos .

Todas las condiciones de correspondencia autoadjuntas del operador de Laplace en un grafo se pueden clasificar según un esquema de Kostrykin y Schrader. En la práctica, suele ser más conveniente adoptar un formalismo introducido por Kuchment (véase ^[3]) , que produce automáticamente un operador en forma variacional.

Sea un vértice con aristas que emanan de él. Para simplificar, elegimos las coordenadas de las aristas de modo que se encuentre en para cada arista que se encuentra en . Para una función en el gráfico, sea ${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle x_{e}=0}$${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{e_{1}}(0),f_{e_{2}}(0),\puntos ,f_{e_{d}}(0))^{T},\qquad \mathbf {f} '=(f'_{e_{1}}(0),f'_{e_{2}}(0),\puntos ,f'_{e_{d}}(0))^{T}.}$

Las condiciones de coincidencia se pueden especificar mediante un par de matrices y mediante la ecuación lineal, ${\estilo de visualización v}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

${\displaystyle A\mathbf {f} +B\mathbf {f} '=\mathbf {0} .}$

Las condiciones de coincidencia definen un operador autoadjunto si tiene el rango máximo y${\estilo de visualización (A,B)}$${\estilo de visualización d}$${\displaystyle AB^{*}=BA^{*}.}$

El espectro del operador de Laplace en un gráfico finito se puede describir convenientemente utilizando un enfoque de matriz de dispersión introducido por Kottos y Smilansky. ^{[4] [5]} El problema del valor propio en un borde es,

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx_{e}^{2}}}f_{e}(x_{e})=k^{2}f_{e}(x_{e}).\,}$

Por lo tanto, una solución en el borde puede escribirse como una combinación lineal de ondas planas .

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=c_{e}{\textrm {e}}^{ikx_{e}}+{\hat {c}}_{e}{\textrm {e}}^{-ikx_{e}}.\,}$

donde en una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es el coeficiente de la onda plana saliente en y el coeficiente de la onda plana entrante en . Las condiciones de coincidencia en definen una matriz de dispersión ${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización 0}$${\displaystyle {\hat {c}}}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización v}$

${\displaystyle S(k)=-(A+ikB)^{-1}(A-ikB).\,}$

La matriz de dispersión relaciona los vectores de los coeficientes de onda plana entrantes y salientes en , . Para condiciones de coincidencia autoadjuntas es unitaria. Un elemento de de es una amplitud de transición compleja desde un borde dirigido al borde que en general depende de . Sin embargo, para una gran clase de condiciones de coincidencia, la matriz S es independiente de . Con condiciones de coincidencia de Neumann, por ejemplo ${\estilo de visualización v}$${\displaystyle \mathbf {c} = S(k){\hat {\mathbf {c} }}}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (uv)}$${\displaystyle (vw)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccccc}1&-1&0&0&\dots \\0&1&-1&0&\dots \\&&\ddots &\ddots &\\0&\dots &0&1&-1\\0&\dots &0&0&0\\\end{array}}\right),\quad B=\left({\begin{array}{cccc}0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\dots &0\\1&1&\dots &1\\\end{array}}\right).}$

Sustituir en la ecuación produce amplitudes de transición independientes ${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}={\frac {2}{d}}-\delta _{uw}.\,}$

donde es la función delta de Kronecker que es uno si y cero en caso contrario. A partir de las amplitudes de transición podemos definir una matriz ${\displaystyle \delta _{uw}}$${\displaystyle u=w}$${\displaystyle 2|E|\times 2|E|}$

${\displaystyle U_{(uv)(lm)}(k)=\delta _{vl}\sigma _{(uv)(vm)}(k){\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}.\,}$

${\displaystyle U}$se denomina matriz de dispersión de enlaces y puede considerarse como un operador de evolución cuántica en el gráfico. Es unitario y actúa sobre el vector de coeficientes de onda plana para el gráfico donde es el coeficiente de la onda plana que viaja de a . La fase es la fase que adquiere la onda plana al propagarse de vértice a vértice . ${\displaystyle 2|E|}$${\displaystyle c_{(uv)}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

Condición de cuantificación: una función propia en el gráfico se puede definir a través de sus coeficientes de onda plana asociados. Como la función propia es estacionaria bajo la evolución cuántica, se puede escribir una condición de cuantificación para el gráfico utilizando el operador de evolución. ${\displaystyle 2|E|}$

${\displaystyle |U(k)-I|=0.\,}$

Los valores propios se dan en valores de donde la matriz tiene un valor propio uno. Ordenaremos el espectro con . ${\displaystyle k_{j}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U(k)}$${\displaystyle 0\leqslant k_{0}\leqslant k_{1}\leqslant \dots }$

La primera fórmula de traza para un gráfico fue derivada por Roth (1983). En 1997, Kottos y Smilansky utilizaron la condición de cuantificación anterior para obtener la siguiente fórmula de traza para el operador de Laplace en un gráfico cuando las amplitudes de transición son independientes de . La fórmula de traza vincula el espectro con las órbitas periódicas en el gráfico. ${\displaystyle k}$

${\displaystyle d(k):=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (k-k_{j})={\frac {L}{\pi }}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{p}{\frac {L_{p}}{r_{p}}}A_{p}\cos(kL_{p}).}$

${\displaystyle d(k)}$se denomina densidad de estados. El lado derecho de la fórmula de la traza se compone de dos términos, el término de Weyl es la separación media de los valores propios y la parte oscilante es una suma de todas las órbitas periódicas en el gráfico. es la longitud de la órbita y es la longitud total del gráfico. Para una órbita generada mediante la repetición de una órbita primitiva más corta, cuenta el número de reparticiones. es el producto de las amplitudes de transición en los vértices del gráfico alrededor de la órbita. ${\displaystyle {\frac {L}{\pi }}}$${\displaystyle p=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$${\displaystyle L_{p}=\sum _{e\in p}L_{e}}$${\displaystyle L=\sum _{e\in E}L_{e}}$${\displaystyle r_{p}}$${\displaystyle A_{p}=\sigma _{e_{1}e_{2}}\sigma _{e_{2}e_{3}}\dots \sigma _{e_{n}e_{1}}}$

Los gráficos cuánticos se emplearon por primera vez en la década de 1930 para modelar el espectro de electrones libres en moléculas orgánicas como el naftaleno (véase la figura). Como primera aproximación, los átomos se consideran vértices, mientras que los electrones σ forman enlaces que fijan un marco con la forma de la molécula en la que se encuentran confinados los electrones libres.

Un problema similar surge cuando se consideran las guías de ondas cuánticas. Se trata de sistemas mesoscópicos, es decir, sistemas construidos con un ancho en la escala de nanómetros. Una guía de ondas cuántica puede considerarse como un grafo engrosado donde los bordes son tubos delgados. El espectro del operador de Laplace en este dominio converge al espectro del operador de Laplace en el grafo bajo ciertas condiciones. La comprensión de los sistemas mesoscópicos desempeña un papel importante en el campo de la nanotecnología .

En 1997 ^[6] Kottos y Smilansky propusieron los grafos cuánticos como modelo para estudiar el caos cuántico , la mecánica cuántica de los sistemas que son clásicamente caóticos. El movimiento clásico en el grafo se puede definir como una cadena de Markov probabilística donde la probabilidad de dispersión de borde a borde está dada por el valor absoluto de la amplitud de transición cuántica al cuadrado, . Para casi todos los grafos cuánticos finitos conexos la dinámica probabilística es ergódica y mixta, en otras palabras, caótica. ${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |\sigma _{ef}|^{2}}$

Los gráficos cuánticos incrustados en dos o tres dimensiones aparecen en el estudio de los cristales fotónicos . ^[7] En dos dimensiones, un modelo simple de un cristal fotónico consiste en celdas poligonales de un dieléctrico denso con interfaces estrechas entre las celdas llenas de aire. El estudio de los modos dieléctricos que permanecen principalmente en el dieléctrico da lugar a un operador pseudodiferencial en el gráfico que sigue las interfaces estrechas.

Los gráficos cuánticos periódicos como la red son modelos comunes de sistemas periódicos y se han aplicado al estudio de los fenómenos de localización de Anderson , donde los estados localizados ocurren en el borde de las bandas espectrales en presencia de desorden. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$

• La escalera de Schild , una novela que trata sobre una teoría de grafos cuánticos ficticia
• Diagrama de Feynman