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Codificación superdensa

Vídeo esquemático que muestra los pasos individuales de la codificación superdensa. Se envía un mensaje de dos bits (en el vídeo, (1, 0)) desde la estación A a la estación B u...

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Vídeo esquemático que muestra los pasos individuales de la codificación superdensa. Se envía un mensaje de dos bits (en el vídeo, (1,  0)) desde la estación A a la estación B utilizando una sola partícula. Esta partícula forma parte de un par entrelazado creado por la fuente S. La estación A aplica primero una operación adecuada a su partícula y luego la envía a la estación B, que mide ambas partículas en la base de Bell. El resultado de la medición recupera los dos bits enviados por la estación A.

En la teoría de la información cuántica , la codificación superdensa (también conocida como codificación densa ) es un protocolo de comunicación cuántica para comunicar una cantidad de bits clásicos de información transmitiendo solo una cantidad menor de cúbits, bajo el supuesto de que el emisor y el receptor comparten previamente un recurso entrelazado. En su forma más simple, el protocolo involucra a dos partes, a menudo denominadas Alice y Bob en este contexto, que comparten un par de cúbits máximamente entrelazados, y permite a Alice transmitir dos bits (es decir, uno de 00, 01, 10 u 11) a Bob enviando solo un cúbit . [ 1 ] [ 2 ] Este protocolo fue propuesto por primera vez por Charles H.  Bennett y Stephen Wiesner en 1970 [ 3 ] (aunque no lo publicaron hasta 1992) y fue actualizado experimentalmente en 1996 por Klaus Mattle, Harald Weinfurter, Paul G.  Kwiat y Anton Zeilinger utilizando pares de fotones entrelazados. [ 2 ] La codificación superdensa puede considerarse como lo opuesto a la teletransportación cuántica , en la que se transfiere un cúbit de Alice a Bob comunicando dos bits clásicos, siempre que Alice y Bob tengan un par de Bell precompartido. [ 2 ]

La transmisión de dos bits a través de un único cúbit es posible gracias a que Alice puede elegir entre cuatro operaciones de puerta cuántica para realizar sobre su parte del estado entrelazado. Alice determina qué operación realizar según el par de bits que desea transmitir. Luego, envía a Bob el estado del cúbit evolucionado a través de la puerta elegida . Dicho cúbit codifica así información sobre los dos bits que Alice usó para seleccionar la operación, y esta información puede ser recuperada por Bob gracias al entrelazamiento compartido previamente entre ellos. Después de recibir el cúbit de Alice, operar sobre el par y medir ambos, Bob obtiene dos bits clásicos de información. Cabe destacar que si Alice y Bob no comparten previamente el entrelazamiento, entonces el protocolo superdenso es imposible, ya que esto violaría el teorema de Holevo .

Superdense coding is the underlying principle of secure quantum secret coding. The necessity of having both qubits to decode the information being sent eliminates the risk of eavesdroppers intercepting messages.[4]

Overview

When the sender and receiver share a Bell state, two classical bits can be packed into one qubit. In the diagram, lines carry qubits, while the doubled lines carry classic bits. The variables b1 and b2 are classic Boolean, and the zeroes at the left-hand side represent the pure quantum state|0⟩{\displaystyle |0\rangle }. See the section named "The protocol" below for more details regarding this picture.

Suppose Alice wants to send two classical bits of information (00, 01, 10, or 11) to Bob using qubits (instead of classical bits). To do this, an entangled state (e.g. a Bell state) is prepared using a Bell circuit or gate by Charlie, a third person. Charlie then sends one of these qubits (in the Bell state) to Alice and the other to Bob. Once Alice obtains her qubit in the entangled state, she applies a certain quantum gate to her qubit depending on which two-bit message (00, 01, 10 or 11) she wants to send to Bob. Her entangled qubit is then sent to Bob who, after applying the appropriate quantum gate and making a measurement, can retrieve the classical two-bit message. Observe that Alice does not need to communicate to Bob which gate to apply in order to obtain the correct classical bits from his projective measurement.

The protocol

The protocol can be split into five different steps: preparation, sharing, encoding, sending, and decoding.

Preparation

The protocol starts with the preparation of an entangled state, which is later shared between Alice and Bob. For example, the following Bell state

|Φ+⟩=12(|0⟩A⊗|0⟩B+|1⟩A⊗|1⟩B){\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}

is prepared, where ⊗{\displaystyle \otimes } denotes the tensor product. In common usage the tensor product symbol ⊗{\displaystyle \otimes } may be omitted:

|Φ+⟩=12(|0A0B⟩+|1A1B⟩){\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}0_{B}\rangle +|1_{A}1_{B}\rangle )}.

Sharing

After the preparation of the Bell state |Φ+⟩{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }, the qubit denoted by subscript A is sent to Alice and the qubit denoted by subscript B is sent to Bob. Alice and Bob may be in different locations, an unlimited distance from each other.

There may be an arbitrary period between the preparation and sharing of the entangled state |Φ+⟩{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle } and the rest of the steps in the procedure.

Encoding

By applying a quantum gate to her qubit locally, Alice can transform the entangled state |Φ+⟩{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle } into any of the four Bell states (including, of course, |Φ+⟩{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }). Note that this process cannot "break" the entanglement between the two qubits.

A continuación, describiremos las operaciones que Alice necesita realizar en su cúbit entrelazado, según el mensaje clásico de dos bits que quiera enviar a Bob. Más adelante veremos por qué se realizan estas operaciones específicas. Existen cuatro casos, que corresponden a las cuatro posibles cadenas de dos bits que Alice podría querer enviar.

1. Si Alice quiere enviar la cadena clásica de dos bits 00 a Bob, entonces aplica la puerta cuántica de identidad,I=[1001]{\displaystyle \mathbb {I} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}, a su cúbit, de modo que permanezca sin cambios. El estado entrelazado resultante es entonces

|B00⟩=12(|0A0B⟩+|1A1B⟩){\displaystyle |B_{00}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}0_{B}\rangle +|1_{A}1_{B}\rangle )}

En otras palabras, el estado entrelazado que comparten Alice y Bob no ha cambiado, es decir, sigue siendo el mismo.|Φ+⟩{\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }. La notación|B00⟩{\displaystyle |B_{00}\rangle }indica que Alice quiere enviar la cadena de dos bits 00.

2. Si Alice quiere enviar la cadena clásica de dos bits 01 a Bob, entonces aplica la puerta lógica cuántica NOT (o de inversión de bits ) ,incógnita=[0110]{\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}, a su cúbit, de modo que el estado cuántico entrelazado resultante se convierte en

|B01⟩=12(|1A0B⟩+|0A1B⟩){\displaystyle |B_{01}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{A}0_{B}\rangle +|0_{A}1_{B}\rangle )}

3. Si Alice quiere enviar la cadena clásica de dos bits 10 a Bob, entonces aplica la puerta de inversión de fase cuántica.Z=[100−1]{\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}a su cúbit, por lo que el estado entrelazado resultante se convierte en

|B10⟩=12(|0A0B⟩−|1A1B⟩){\displaystyle |B_{10}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}0_{B}\rangle -|1_{A}1_{B}\rangle )}

4. Si, en cambio, Alice quiere enviar la cadena clásica de dos bits 11 a Bob, entonces aplica la puerta cuántica.Z∗incógnita=iY=[01−10]{\displaystyle Z*X=iY={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}a su cúbit, de modo que el estado entrelazado resultante se convierte en

|B11⟩=12(|0A1B⟩−|1A0B⟩){\displaystyle |B_{11}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0_{A}1_{B}\rangle -|1_{A}0_{B}\rangle )}

Las matricesincógnita{\displaystyle X},Z{\displaystyle Z}, yY{\displaystyle Y}se conocen como matrices de Pauli .

Envío

Tras haber realizado una de las operaciones descritas anteriormente, Alice puede enviar su cúbit entrelazado a Bob utilizando una red cuántica a través de algún medio físico convencional.

Descodificación

Para que Bob pueda averiguar qué bits clásicos envió Alice, realizará la operación unitaria CNOT , con A como cúbit de control y B como cúbit objetivo. Luego, realizaráH⊗I{\displaystyle H\otimes I}Operación unitaria sobre el cúbit entrelazado A. En otras palabras, la puerta cuántica de Hadamard H se aplica únicamente a A (véase la figura anterior).

  • Si el estado entrelazado resultante fueraB00{\displaystyle B_{00}}Luego, tras la aplicación de las operaciones unitarias anteriores, el estado entrelazado se convertirá en:|00⟩{\displaystyle |00\rangle }
  • Si el estado entrelazado resultante fueraB01{\displaystyle B_{01}}Luego, tras la aplicación de las operaciones unitarias anteriores, el estado entrelazado se convertirá en:|01⟩{\displaystyle |01\rangle }
  • Si el estado entrelazado resultante fueraB10{\displaystyle B_{10}}Luego, tras la aplicación de las operaciones unitarias anteriores, el estado entrelazado se convertirá en:|10⟩{\displaystyle |10\rangle }
  • Si el estado entrelazado resultante fueraB11{\displaystyle B_{11}}Luego, tras la aplicación de las operaciones unitarias anteriores, el estado entrelazado se convertirá en:|11⟩{\displaystyle |11\rangle }

Estas operaciones realizadas por Bob pueden considerarse como una medición que proyecta el estado entrelazado sobre uno de los cuatro vectores base de dos cúbits.|00⟩,|01⟩,|10⟩{\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle }o|11⟩{\displaystyle |11\rangle }(como puede verse en los resultados y en el ejemplo a continuación).

Ejemplo

Por ejemplo, si el estado entrelazado resultante (después de las operaciones realizadas por Alice) fueraB01=12(|1A0B⟩+|0A1B⟩){\displaystyle B_{01}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{A}0_{B}\rangle +|0_{A}1_{B}\rangle )}, entonces un CNOT con A como bit de control y B como bit objetivo cambiaráB01{\displaystyle B_{01}}convertirseB01′=12(|1A1B⟩+|0A1B⟩){\displaystyle B_{01}'={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{A}1_{B}\rangle +|0_{A}1_{B}\rangle )}. Ahora, la puerta de Hadamard se aplica solo a A, para obtener

B01″=12[(12(|0⟩−|1⟩))A⊗|1B⟩+(12(|0⟩+|1⟩))A⊗|1B⟩].{\displaystyle B_{01}''={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )\right)}_{A}\otimes |1_{B}\rangle +{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )\right)}_{A}\otimes |1_{B}\rangle \right].}

Para simplificar, se pueden eliminar los subíndices:

B01″=12(12(|0⟩−|1⟩)⊗|1⟩+12(|0⟩+|1⟩)⊗|1⟩)=12(12(|01⟩−|11⟩)+12(|01⟩+|11⟩))=12|01⟩−12|11⟩+12|01⟩+12|11⟩=|01⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}B_{01}''&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )\otimes |1\rangle +{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )\otimes |1\rangle \right)\\&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|11\rangle )+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|11\rangle )\right)={\tfrac {1}{2}}|01\rangle -{\tfrac {1}{2}}|11\rangle +{\tfrac {1}{2}}|01\rangle +{\tfrac {1}{2}}|11\rangle =|01\rangle .\end{aligned}}}

Ahora, Bob tiene el estado base|01⟩{\displaystyle |01\rangle }, así que sabe que Alice quería enviar la cadena de dos bits 01.

Seguridad

La codificación superdensa es una forma de comunicación cuántica segura. [ 4 ] Si un espía, comúnmente llamado Eva, intercepta el cúbit de Alice en su camino hacia Bob, todo lo que Eva obtiene forma parte de un estado entrelazado. Sin acceso al cúbit de Bob, Eva no puede obtener información del cúbit de Alice. Un tercero no puede interceptar la información que se comunica mediante codificación superdensa, y cualquier intento de medir cualquiera de los cúbits colapsaría su estado y alertaría a Bob y Alice.

Esquema general de codificación densa

Los esquemas generales de codificación densa pueden formularse en el lenguaje utilizado para describir canales cuánticos . Alice y Bob comparten un estado máximamente entrelazado ω . Sean los subsistemas inicialmente poseídos por Alice y Bob etiquetados como 1 y 2, respectivamente. Para transmitir el mensaje x , Alice aplica un canal apropiado.

Φincógnita{\displaystyle \;\Phi _{x}}

en el subsistema 1. En el sistema combinado, esto se efectúa mediante

ω→(Φincógnita⊗I)(ω){\displaystyle \omega \rightarrow (\Phi _{x}\otimes I)(\omega )}

donde I denota el mapa identidad en el subsistema 2. Alice luego envía su subsistema a Bob, quien realiza una medición en el sistema combinado para recuperar el mensaje. Supongamos que la medición de Bob se modela mediante un POVM.{Fy}y{\displaystyle \{F_{y}\}_{y}}, conFy{\displaystyle F_{y}}operadores semidefinidos positivos tales que∑yFy=I{\textstyle \sum _{y}F_{y}=I}. La probabilidad de que el aparato de medición de Bob registre el mensajey{\displaystyle y}es así pag(y|incógnita)=⟨Fy,(Φincógnita⊗I)(ω)⟩≡Tran⁡[Fy(Φincógnita⊗I)(ω)].{\displaystyle p(y|x)=\langle F_{y},(\Phi _{x}\otimes I)(\omega )\rangle \equiv \operatorname {Tr} [F_{y}(\Phi _{x}\otimes I)(\omega )].} Por lo tanto, para lograr la transmisión deseada, requerimos que pag(y|incógnita)=Tran⁡[Fy(Φincógnita⊗I)(ω)]=δincógnitay,{\displaystyle p(y|x)=\operatorname {Tr} [F_{y}(\Phi _{x}\otimes I)(\omega )]=\delta _{xy},} dóndeδincógnitay{\displaystyle \delta _{xy}}es el delta de Kronecker .

Experimental

El protocolo de codificación superdensa se ha actualizado en varios experimentos utilizando diferentes sistemas para distintos niveles de capacidad de canal y fidelidad. En 2004, se utilizaron iones de berilio-9 atrapados en un estado máximamente entrelazado para lograr una capacidad de canal de 1,16 con una fidelidad de 0,85. [ 5 ] En 2017, se logró una capacidad de canal de 1,665 con una fidelidad de 0,87 a través de fibras ópticas. [ 6 ] Se utilizaron ququarts de alta dimensión (estados formados en pares de fotones por conversión descendente paramétrica espontánea no degenerada ) para alcanzar una capacidad de canal de 2,09 (con un límite de 2,32) con una fidelidad de 0,98. [ 7 ] También se ha utilizado la resonancia magnética nuclear (RMN) para compartir entre tres partes. [ 8 ]

Referencias

  1. ↑ Bennett, C.; Wiesner, S. (1992). "Comunicación mediante operadores de una y dos partículas en estados de Einstein-Podolsky-Rosen". Physical Review Letters . 69 (20): 2881– 2884. Bibcode : 1992PhRvL..69.2881B . doi : 10.1103/PhysRevLett.69.2881 . PMID 10046665 . 
  2. 1 2 3 Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (9 de diciembre de 2010). "2.3 Aplicación: codificación superdensa". Computación cuántica e información cuántica: edición del décimo aniversario . Cambridge University Press. pág. 97. ISBN  978-1-139-49548-6.
  3. ↑ Stephen Wiesner . Entrada de blog en memoria de Or Sattath, con escaneo de las notas manuscritas de Bennett de 1970. Véase también Stephen Wiesner (1942–2021) de Scott Aaronson , que también trata este tema.
  4. 1 2 Wang, Chuan; Deng, Fu-Guo; Li, Yan-Song; Liu, Xiao-Shu; Long, Gui Lu (2005-04-28). "Comunicación directa cuántica segura con codificación superdensa cuántica de alta dimensión" . Physical Review A. 71 ( 4) 044305. doi : 10.1103/PhysRevA.71.044305 .
  5. ↑ Schaetz, T.; Barrett, MD; Leibfried, D.; Chiaverini, J.; Britton, J.; Itano, WM; Jost, JD; Langer, C.; Wineland, DJ (2004-07-22). "Codificación densa cuántica con cúbits atómicos" . Physical Review Letters . 93 (4) 040505. doi : 10.1103/PhysRevLett.93.040505 . PMID 15323743 . 
  6. ↑ Williams, Brian P.; Sadlier, Ronald J.; Humble, Travis S. (2017-02-01). "Codificación superdensa sobre enlaces de fibra óptica con mediciones completas del estado de Bell" . Physical Review Letters . 118 (5) 050501. arXiv : 1609.00713 . doi : 10.1103/PhysRevLett.118.050501 . PMID 28211745 . Williams, BP, Sadlier, RJ y Humble, TS (2017). Codificación superdensa sobre enlaces de fibra óptica con mediciones completas del estado de Bell. Physical Review Letters, 118(5).
  7. ↑ Hu, Xiao-Min; Guo, Yu; Liu, Bi-Heng; Huang, Yun-Feng; Li, Chuan-Feng; Guo, Guang-Can (2018-07-06). "Superando el límite de capacidad del canal para la codificación superdensa con ququarts entrelazados" . Science Advances . 4 (7) eaat9304. doi : 10.1126/sciadv.aat9304 . ISSN 2375-2548 . PMC 6054506. PMID 30035231 .   
  8. ^ Wei, Daxiu; Yang, Xiaodong; Luo, junio; Sol, Xianping; Zeng, Xizhi; Liu, Maili (1 de marzo de 2004). "Implementación experimental de RMN de codificación cuántica superdensa de tres partes" . Boletín de ciencia chino . 49 (5): 423– 426. doi : 10.1007/BF02900957 . ISSN 1861-9541 . 

Lecturas adicionales

  • Wilde, Mark M., 2017, Teoría de la información cuántica, Cambridge University Press , También disponible en eprint arXiv:1106.1145
  • Apuntes del curso sobre cúbits, mecánica cuántica y computadoras
  • Codificación superdensa: cómo enviar dos bits usando un cúbit en YouTube por Michael Nielsen
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