Métrica de Fubini-Estudio

En matemáticas , la métrica de Fubini-Study (IPA: /fubini-ʃtuːdi/) es una métrica de Kähler en un espacio proyectivo complejo CP ⁿ dotado de una forma hermitiana . Esta métrica fue descrita originalmente en 1904 y 1905 por Guido Fubini y Eduard Study . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Una forma hermitiana en (el espacio vectorial ) C ^{n +1} define un subgrupo unitario U( n +1) en GL( n +1, C ). Una métrica de Fubini-Study está determinada salvo homotecia (escalamiento global) por invariancia bajo dicha acción U( n +1); por lo tanto, es homogénea . Equipado con una métrica de Fubini-Study, CP ⁿ es un espacio simétrico . La normalización particular de la métrica depende de la aplicación. En geometría riemanniana , se utiliza una normalización de modo que la métrica de Fubini-Study simplemente se relaciona con la métrica estándar en la (2 n +1)-esfera . En geometría algebraica , se utiliza una normalización que convierte a CP ⁿ en una variedad de Hodge .

La métrica de Fubini-Study surge de forma natural en la construcción del espacio cociente del espacio proyectivo complejo .

Específicamente, se puede definir CP ⁿ como el espacio que consta de todas las líneas complejas en C ^{n +1} , es decir, el cociente de C ^{n +1} \{0} por la relación de equivalencia que relaciona todos los múltiplos complejos de cada punto. Esto coincide con el cociente por la acción de grupo diagonal del grupo multiplicativo C ^*  = C \ {0}:   

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\right\}{\big /}\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}$

Un punto de CP ⁿ se identifica así con una clase de equivalencia de ( n +1)-tuplas [ Z ₀ ,..., Z _n ] módulo reescalamiento complejo no nulo; las Z _i se denominan coordenadas homogéneas del punto.

Además, se puede realizar este mapeo de cociente en dos pasos: dado que la multiplicación por un escalar complejo distinto de cero z  = R e ^iθ puede pensarse de forma única como la composición de una dilatación por el módulo R seguida de una rotación en sentido antihorario alrededor del origen por un ángulo ${\displaystyle \theta }$, el mapeo cociente C ^{n +1} \{0}  → CP ⁿ se divide en dos partes, 

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\mathrel {\stackrel {(a)}{\longrightarrow }} S^{2n+1}\mathrel {\stackrel {(b)}{\longrightarrow }} \mathbf {CP} ^{n}}$

donde el paso (a) es un cociente por la dilatación Z  ~ R Z para R ∈ R ⁺ , el grupo multiplicativo de los números reales positivos , y el paso (b) es un cociente por las rotaciones Z ~ e ^iθ Z .     

El resultado del cociente en (a) es la hiperesfera real S ^{2 n +1} definida por la ecuación | Z | ² = | Z ₀ | ²  +  ...  +  | Z _n | ²  =  1. El cociente en (b) realiza CP ⁿ  = S ^{2 n +1} / S ¹ , donde S ¹ representa el grupo de rotaciones. Este cociente se realiza explícitamente mediante la famosa fibración de Hopf S ¹ → S ^{2 n +1} → CP ⁿ , cuyas fibras se encuentran entre los círculos máximos de     ${\displaystyle S^{2n+1}}$.

Cuando n = 1, existe un difeomorfismo.${\displaystyle S^{2}\cong \mathbf {CP} ^{1}}$dada por proyección estereográfica . Esto conduce a la fibración de Hopf "especial" S ¹  → S ³ → S ² . Cuando la métrica de Fubini-Study se escribe en coordenadas en CP ¹ , su restricción al fibrado tangente real produce una expresión de la "métrica redonda" ordinaria de radio 1/2 (y curvatura gaussiana 4) en S ² .   

Es decir, si z  = x + i y es la carta de coordenadas afines estándar en la esfera de Riemann CP ¹ y x = r cos θ, y = r sin θ son coordenadas polares en C , entonces un cálculo rutinario muestra         

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\bar {z}})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{4}}(d\varphi ^{2}+\sin ^{2}\varphi \,d\theta ^{2})={\tfrac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}}$

dónde${\displaystyle ds_{us}^{2}}$^{es la métrica redonda en la esfera unitaria de} dimensión 2. Aquí φ y θ son las " coordenadas esféricas del matemático " en S² que provienen de la proyección estereográfica r tan(φ/2) = 1, tan θ = y / x . (Muchas referencias de física intercambian los roles de φ y θ).     

La forma de Kähler es

${\displaystyle K={\frac {i}{2}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{\left(1+z{\bar {z}}\right)^{2}}}={\frac {dx\wedge dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}}$

Elegir como vierbeins${\displaystyle e^{1}=dx/(1+r^{2})}$y${\displaystyle e^{2}=dy/(1+r^{2})}$, la forma de Kähler se simplifica a

${\displaystyle K=e^{1}\wedge e^{2}}$

Aplicando la estrella de Hodge a la forma de Kähler, se obtiene

${\displaystyle *K=1}$

lo que implica que K es armónico .

La métrica de Fubini-Study en el plano proyectivo complejo CP ² se ha propuesto como un instantón gravitacional , el análogo gravitacional de un instantón . ^{[ 5 ] [ 3 ]} La métrica, la forma de conexión y la curvatura se calculan fácilmente una vez que se establecen coordenadas 4D reales adecuadas.${\displaystyle (x,y,z,t)}$Para coordenadas cartesianas reales, se definen entonces las formas de coordenadas polares en la 4-esfera (la línea proyectiva cuaterniónica ) como

${\displaystyle {\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}}$

El${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$son el marco de coordenadas estándar de una forma invariante por la izquierda en el grupo de Lie${\displaystyle SU(2)=S^{3}}$; es decir, obedecen${\displaystyle d\sigma _{i}=2\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$para${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$y permutaciones cíclicas.

Las coordenadas afines locales correspondientes son${\displaystyle z_{1}=x+iy}$y${\displaystyle z_{2}=z+it}$luego proporcionar

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}{\bar {z}}_{1}+z_{2}{\bar {z}}_{2}&=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})\\{\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}&=rdr+i\,r^{2}\sigma _{3}\end{aligned}}}$

con las abreviaturas habituales que${\displaystyle dr^{\,2}=dr\otimes dr}$y${\displaystyle \sigma _{k}^{\,2}=\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}$.

El elemento de línea, comenzando con la expresión dada previamente, viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}}{1+z_{i}{\bar {z}}^{i}}}-{\frac {{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar) {z}}^{i})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})}{1+r^{2}}}-{\frac {r^{2}dr^{\,2}+r^{4}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}+{\frac {r^{2}\left(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}\right)}{1+r^{2}}}\end{aligned}}}$

Los vierbeins se pueden leer inmediatamente a partir de la última expresión:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}&&&e^{3}={\frac {r\sigma _{3}}{1+r^{2}}}\\[5pt]e^{1}={\frac {r\sigma _{1}}{\sqrt {1+r^{2}}}}&&&e^{2}={\frac {r\sigma _{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}}\end{aligned}}}$

Es decir, en el sistema de coordenadas de vierbein, utilizando subíndices en letras romanas, el tensor métrico es euclidiano:

${\displaystyle ds^{2}=\delta _ {ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}\otimes e^{1}+e^{2}\otimes e^{2}+e^{3}\otimes e^{3}.}$

Dado el vierbein, se puede calcular una conexión de espín ; la conexión de espín de Levi-Civita es la única conexión que es libre de torsión y covariante constante, es decir, es la forma única.${\displaystyle \omega _{\;\;b}^{a}}$que satisface la condición de ausencia de torsión

${\displaystyle de^{a}+\omega _{\;\;b}^{a}\wedge e^{b}=0}$

y es covariante constante, lo que, para las conexiones de espín, significa que es antisimétrica en los índices de vierbein:

${\displaystyle \omega _{ab}=-\omega _{ba}}$

Lo anterior se resuelve fácilmente; se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}}$

La 2-forma de curvatura se define como

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}}$

y es constante:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\R_{02}&=-R_{31}=e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

El tensor de Ricci en índices de Vierbein viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{\;\;c}^{a}=R_{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}}$

donde la 2-forma de curvatura se expandió como un tensor de cuatro componentes:

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$

El tensor de Ricci resultante es constante.

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}}$

de modo que la ecuación de Einstein resultante

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0}$

se puede resolver con la constante cosmológica${\displaystyle \Lambda =6}$.

El tensor de Weyl para las métricas de Fubini-Study en general viene dado por

${\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-2\left(\delta _{ac}\delta _{bd}-\delta _{ad}\delta _{bc}\right)}$

Para el caso n  =  2, las dos formas

${\displaystyle W_{ab}={\tfrac {1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}}$

son autoduales:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

En el caso especial n = 1, la métrica de Fubini-Study tiene una curvatura seccional constante idénticamente igual a 4, según la equivalencia con la métrica redonda de la 2-esfera (que dado un radio R tiene una curvatura seccional${\displaystyle 1/R^{2}}$). Sin embargo, para n > 1, la métrica de Fubini-Study no tiene curvatura constante. Su curvatura seccional viene dada por la ecuación ^{[ 6 ].}

${\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}$

dónde${\displaystyle \{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}}$es una base ortonormal del plano 2 σ, el mapeo J  : T CP ⁿ → T CP ⁿ es la estructura compleja en CP ⁿ , y   ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$es la métrica de Fubini–Study.

Una consecuencia de esta fórmula es que la curvatura seccional satisface${\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}$para todos los 2 planos${\displaystyle \sigma }$La curvatura seccional máxima (4) se alcanza en un plano 2- holomorfo —aquel para el cual J (σ) ⊂ σ—, mientras que la curvatura seccional mínima (1) se alcanza en un plano 2 para el cual J (σ) es ortogonal a σ. Por esta razón, se suele decir que la métrica de Fubini-Study tiene una " curvatura seccional holomorfa constante " igual a 4.

Esto convierte a CP ⁿ en una variedad de cuarto de pinzamiento (no estricta) ; un célebre teorema muestra que una n -variedad simplemente conexa de cuarto de pinzamiento estricta debe ser homeomorfa a una esfera.

La métrica de Fubini-Study es también una métrica de Einstein en el sentido de que es proporcional a su propio tensor de Ricci : existe una constante${\displaystyle \Lambda }$; de tal manera que para todo i , j tenemos

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}.}$

Esto implica, entre otras cosas, que la métrica de Fubini-Study permanece inalterada salvo un múltiplo escalar bajo el flujo de Ricci . También hace que CP ⁿ sea indispensable para la teoría de la relatividad general , donde sirve como una solución no trivial a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío .

La constante cosmológica${\displaystyle \Lambda }$Para CP ⁿ se da en términos de la dimensión del espacio:

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.}$

Las nociones comunes de separabilidad se aplican a la métrica de Fubini-Study. Más precisamente, la métrica es separable en el producto natural de espacios proyectivos, la inmersión de Segre . Es decir, si${\displaystyle \vert \psi \rangle }$es un estado separable , por lo que se puede escribir como${\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle }$, entonces la métrica es la suma de la métrica en los subespacios:

${\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}$

dónde${\displaystyle {ds_{A}}^{2}}$y${\displaystyle {ds_{B}}^{2}}$son las métricas, respectivamente, en los subespacios A y B.

El hecho de que la métrica pueda derivarse del potencial de Kähler significa que los símbolos de Christoffel y los tensores de curvatura contienen muchas simetrías y pueden adoptar una forma particularmente simple: Los símbolos de Christoffel, en las coordenadas afines locales, vienen dados por

${\displaystyle \Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

El tensor de Riemann también es particularmente simple:

${\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial \Gamma _{\;\;{\bar {j}}{\bar {l}}}^{\bar {m}}}{\partial z^{k}}}}$

El tensor de Ricci es

${\displaystyle R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

• Modelo sigma no lineal
• Teoría de Kaluza-Klein
• Altura de Arakelov

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• Griffiths, P.; Harris , J. (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Wiley Interscience, pp. 30–31 , ISBN  0-471-05059-8
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