forma cuadrática ε

Por el contrario, se puede definir un homomorfismo inverso "1 + εT ": Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) , llamado mapa de simetrización (ya que produce una forma simétrica) tomando cualquier elevación de una forma cuadrática y multiplicándola por 1 + εT . Esta es una forma simétrica porque (1 − εT )(1 + εT ) = 1 − T ² = 0 , por lo que está en el núcleo. Más precisamente,${\displaystyle (1+\varepsilon T)B(M)<Q^{\varepsilon }(M)}$El mapa está bien definido por la misma ecuación: elegir un elevador diferente corresponde a sumar un múltiplo de (1 − εT ) , pero esto desaparece después de multiplicar por 1 + εT . Por lo tanto, cada forma ε -cuadrática determina una forma ε -simétrica.

La composición de estos dos mapas de cualquier manera: Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) o Q _ε ( M ) → Q ^ε ( M ) → Q _ε ( M ) produce una multiplicación por 2, y por lo tanto estos mapas son biyectivos si 2 es invertible en R , con el inverso dado por la multiplicación por 1/2.

Una forma ε -cuadrática ψ ∈ Q _ε ( M ) se denomina no degenerada si la forma ε -simétrica asociada (1 + εT )( ψ ) no es degenerada.

Si el * es trivial, entonces ε = ±1 , y "alejado de 2" significa que 2 es invertible: 1/2 ∈ R.

De manera más general, se puede tomar para ε ∈ R cualquier elemento tal que ε * ε = 1. ε = ±1 siempre satisface esto, pero también lo hace cualquier elemento de norma 1, como los números complejos de norma unitaria.

De manera similar, en presencia de un * no trivial, las formas ε- simétricas son equivalentes a las formas ε- cuadráticas si existe un elemento λ ∈ R tal que λ * + λ = 1. Si * es trivial, esto es equivalente a 2 λ = 1 o λ = 1/2 , mientras que si * no es trivial puede haber múltiples λ posibles ; por ejemplo, sobre los números complejos cualquier número con parte real 1/2 es tal λ .

Por ejemplo, en el anillo${\displaystyle R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]}$(la red integral para la forma cuadrática 2 x ² − 2 x + 1 ), con conjugación compleja ,${\displaystyle \lambda =\textstyle {\frac {1\pm i}{2}}}$son dos de esos elementos, aunque 1/2 ∉ R .

Una forma intuitiva de entender una forma ε -cuadrática es pensar en ella como un refinamiento cuadrático de su forma ε -simétrica asociada .

Por ejemplo, al definir un álgebra de Clifford sobre un cuerpo o anillo general, se toma como cociente el álgebra tensorial mediante relaciones que provienen de la forma simétrica y la forma cuadrática: vw + wv = 2 B ( v , w ) y${\displaystyle v^{2}=Q(v)}$. Si 2 es invertible, esta segunda relación se deduce de la primera (ya que la forma cuadrática se puede recuperar de la forma bilineal asociada), pero en 2 es necesario este refinamiento adicional.

La parte libre del grupo de homología medio (con coeficientes enteros) de una variedad orientada de dimensión par tiene una forma ε- simétrica, a través de la dualidad de Poincaré , la forma de intersección . En el caso de dimensión par simple 4k + 2 , esta es antisimétrica, mientras que para dimensión doblemente par 4k , es simétrica. Geométricamente, esto corresponde a la intersección, donde dos subvariedades n /2-dimensionales en una variedad n -dimensional se intersecan genéricamente en una subvariedad 0-dimensional (un conjunto de puntos), añadiendo la codimensión . Para dimensión par simple, el orden cambia de signo, mientras que para dimensión doblemente par ^, el orden no cambia de signo, de ahí la ^ε - ^{simetría . Los casos más simples son para el producto} de esferas, donde el producto S2k × S2k y ^{S2k +1 ×} S2k + ¹ respectivamente ^{dan la} forma simétrica${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$y forma antisimétrica${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right).}$En dimensión dos, esto produce un toro, y tomando la suma conexa de g toros se obtiene la superficie de género g , cuya homología media tiene la forma hiperbólica estándar.

Con una estructura adicional, esta forma ε -simétrica puede refinarse a una forma ε -cuadrática. Para dimensión doblemente par, esta tiene un valor entero, mientras que para dimensión par simple, solo está definida hasta la paridad y toma valores en Z /2. Por ejemplo, dada una variedad enmarcada , se puede producir tal refinamiento. Para dimensión par simple, el invariante Arf de esta forma anticuadrática es el invariante Kervaire .

Dada una superficie orientada Σ incrustada en R³ , el grupo de homología medio ^H₁ ( _Σ ) posee no solo una forma antisimétrica (a través de la intersección), sino también una forma anticuadrática, que puede verse como un refinamiento cuadrático, a través del autoenlace. La forma antisimétrica es un invariante de la superficie Σ, mientras que la forma anticuadrática es un invariante de la incrustación Σ ⊂ R³ , por ejemplo, para la superficie de Seifert de un nudo . El invariante de Arf de la forma anticuadrática es un invariante de cobordismo enmarcado que genera el primer grupo de homotopía estable ^.${\displaystyle \pi _{1}^{s}}$.

Para el toro embebido estándar , la forma antisimétrica viene dada por${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\right)}$(con respecto a la base simpléctica estándar ), y el refinamiento cuadrático asimétrico viene dado por xy con respecto a esta base: Q (1, 0) = Q (0, 1) = 0 : las curvas de la base no se autoenlazan; y Q (1, 1) = 1 : a (1, 1) se autoenlaza, como en la fibración de Hopf . (Esta forma tiene invariante Arf 0, y por lo tanto este toro incrustado tiene invariante Kervaire 0).