Pseudoespectro

En matemáticas , el pseudoespectro de un operador es un conjunto que contiene el espectro del operador y los números que son "casi" valores propios . El conocimiento del pseudoespectro puede ser particularmente útil para comprender los operadores no normales y sus funciones propias.

El ε-pseudoespectro de una matriz A consiste en todos los valores propios de las matrices que son ε-cercanas a A : ^[1]

${\displaystyle \Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \en \mathbb {C} \mid \exists x\en \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\en \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.}$

Los algoritmos numéricos que calculan los valores propios de una matriz dan solo resultados aproximados debido al redondeo y otros errores. Estos errores se pueden describir con la matriz E .

De manera más general, para los espacios de Banach y los operadores , se puede definir el -pseudoespectro de (normalmente denotado por ) de la siguiente manera ${\estilo de visualización X, Y}$${\displaystyle A:X\to Y}$${\displaystyle \épsilon}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)}$

${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \}.}$

donde utilizamos la convención de que si no es invertible. ^[2]${\displaystyle \|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty }$${\displaystyle A-\lambda I}$

• Lloyd N. Trefethen y Mark Embree: "Espectros y pseudoespectros: el comportamiento de matrices y operadores no normales", Princeton Univ. Press, ISBN 978-0691119465 (2005). 

• Pseudospectra Gateway de Embree y Trefethen