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Articulo de referencia

Función pseudoconvexa

En el análisis convexo y el cálculo de variaciones , ambas ramas de las matemáticas , una función pseudoconvexa es aquella que se comporta como una función convexa al buscar sus...

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En el análisis convexo y el cálculo de variaciones , ambas ramas de las matemáticas , una función pseudoconvexa es aquella que se comporta como una función convexa al buscar sus mínimos locales , pero no necesariamente es convexa. De manera informal, una función diferenciable es pseudoconvexa si es creciente en cualquier dirección donde su derivada direccional sea positiva . Esta propiedad debe cumplirse en todo el dominio de la función, y no solo en puntos cercanos.

Definición formal

Consideremos una función diferenciable.F:incógnita⊆Rnorte→R{\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }, definido en un conjunto abierto convexo (no vacío)incógnita{\displaystyle X}del espacio euclidiano de dimensión finitaRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}Se dice que esta función es pseudoconvexa si se cumple la siguiente propiedad: [ 1 ]

a pesar deincógnita,y∈incógnita:∇F(incógnita)⋅(y−incógnita)≥0⇒F(y)≥F(incógnita).{\displaystyle x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (yx)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x).}

Equivalentemente:

a pesar deincógnita,y∈incógnita:F(y)<F(incógnita)⇒∇F(incógnita)⋅(y−incógnita)<0.{\displaystyle x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (yx)<0.}

Aquí∇F{\displaystyle \nabla f}es el gradiente deF{\displaystyle f}, definido por:∇F=(∂F∂incógnita1,…,∂F∂incógnitanorte).{\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}

Nótese que la definición también puede expresarse en términos de la derivada direccional deF{\displaystyle f}, en la dirección dada por el vectorv=y−incógnita{\displaystyle v=yx}Esto se debe a que, comoF{\displaystyle f}Si es diferenciable, esta derivada direccional viene dada por:

∂F∂v(incógnita)=∇F(incógnita)⋅v=∇F(incógnita)⋅(y−incógnita).{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial v}}(x)=\nabla f(x)\cdot v=\nabla f(x)\cdot (yx).}

Propiedades

Relación con otros tipos de "convexidad"

Toda función convexa es pseudoconvexa, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, la funciónF(incógnita)=incógnita+incógnita3{\displaystyle f(x)=x+x^{3}}es pseudoconvexa pero no convexa. De manera similar, cualquier función pseudoconvexa es cuasiconvexa ; pero lo contrario no es cierto, ya que la funciónF(incógnita)=incógnita3{\displaystyle f(x)=x^{3}}es cuasiconvexa pero no pseudoconvexa. Esto se puede resumir esquemáticamente como:

convexo⇒{\displaystyle \Rightarrow }pseudoconvexo⇒{\displaystyle \Rightarrow }cuasiconvexo
Las funciones x^3 (cuasiconvexa pero no pseudoconvexa) y x^3 + x (pseudoconvexa y, por lo tanto, cuasiconvexa). Ninguna de ellas es convexa.
Las funciones x^3 (cuasiconvexa pero no pseudoconvexa) y x^3 + x (pseudoconvexa y, por lo tanto, cuasiconvexa). Ninguna de ellas es convexa.

Para ver esoF(incógnita)=incógnita3{\displaystyle f(x)=x^{3}}no es pseudoconvexa, considere su derivada enincógnita=0{\displaystyle x=0}:F′(0)=0{\displaystyle f^{\prime }(0)=0}. Entonces, siF(incógnita)=incógnita3{\displaystyle f(x)=x^{3}}Si era pseudoconvexa, deberíamos tener:

F′(0)(y−0)=0≥0⇒F(y)≥F(0),∀y∈R.{\displaystyle f^{\prime }(0)(y-0)=0\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(0),\quad \forall \,y\in \mathbb {R} .}

En particular, debería ser cierto paray=−1{\displaystyle y=-1}. Pero no es así, ya que:F(−1)=(−1)3=−1<F(0)=0{\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0}.

Condición de optimalidad suficiente

Para cualquier función diferenciable, tenemos la condición necesaria de optimalidad del teorema de Fermat , que establece que: siF{\displaystyle f}tiene un mínimo local enincógnita∗{\displaystyle x^{*}}en un dominio abierto , entoncesincógnita∗{\displaystyle x^{*}}debe ser un punto estacionario deF{\displaystyle f}(eso es:∇F(incógnita∗)=0{\displaystyle \nabla f(x^{*})=0}).

La pseudoconvexidad es de gran interés en el área de optimización , porque lo contrario también es cierto para cualquier función pseudoconvexa. Es decir: [ 2 ] siincógnita∗{\displaystyle x^{*}}es un punto estacionario de una función pseudoconvexaF{\displaystyle f}, entoncesF{\displaystyle f}tiene un mínimo global enincógnita∗{\displaystyle x^{*}}Cabe destacar también que el resultado garantiza un mínimo global (no solo local).

Este último resultado también es cierto para una función convexa, pero no lo es para una función cuasiconvexa. Consideremos, por ejemplo, la función cuasiconvexa:

F(incógnita)=miincógnitaincógnita2+1+1miincógnita.{\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}.}

Esta función no es pseudoconvexa, sino cuasiconvexa. Además, el puntoincógnita=0{\displaystyle x=0}es un punto crítico deF{\displaystyle f}, comoF′(0)=0{\displaystyle f^{\prime }(0)=0}. Sin embargo,F{\displaystyle f}no tiene un mínimo global enincógnita=0{\displaystyle x=0}(ni siquiera un mínimo local).

Ejemplo de una función cuasiconvexa con un punto crítico que no es un mínimo.
Ejemplo de una función cuasiconvexa que no es pseudoconvexa. La función tiene un punto crítico enincógnita=0{\displaystyle x=0}, pero esto no es un mínimo.

Finalmente, cabe señalar que una función pseudoconvexa puede no tener ningún punto crítico. Tomemos como ejemplo la función pseudoconvexa:F(incógnita)=incógnita3+incógnita{\displaystyle f(x)=x^{3}+x}, cuya derivada es siempre positiva:F′(incógnita)=3incógnita2+1>0,∀incógnita∈R{\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}+1>0,\,\forall \,x\in \mathbb {R} }.

Ejemplos

Un ejemplo de una función que es pseudoconvexa, pero no convexa, es:F(incógnita)=incógnita2incógnita2+k,k>0.{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.}La figura muestra esta función para el caso en quek=0,2{\displaystyle k=0.2}Este ejemplo puede generalizarse a dos variables de la siguiente manera:

F(incógnita)=incógnita2+y2incógnita2+y2+k,k>0.{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+k}},\,k>0.}
Función pseudoconvexa que no es convexa: x^2 / (x^2+0.2)
Función pseudoconvexa que no es convexa.

El ejemplo anterior puede modificarse para obtener una función que no sea ni convexa ni pseudoconvexa, sino cuasiconvexa:

F(incógnita)=|incógnita|pag|incógnita|pag+k,k>0,pag∈(0,1).{\displaystyle f(x)={\frac {|x|^{p}}{|x|^{p}+k}},\,k>0,\,p\in (0,1).}

La figura muestra esta función para el caso en quek=0,5,pag=0,6{\displaystyle k=0.5,p=0.6}Como puede verse, esta función no es convexa debido a la concavidad, y no es pseudoconvexa porque no es diferenciable enincógnita=0{\displaystyle x=0}.

Función cuasiconvexa que no es ni convexa ni pseudoconvexa: {{!}}x{{!}}^0.6 / ( {{!}}x{{!}}^0.6 + 0.5 )
Función cuasiconvexa que no es ni convexa ni pseudoconvexa.

Generalización a funciones no diferenciables

La noción de pseudoconvexidad se puede generalizar a funciones no diferenciables de la siguiente manera. [ 3 ] Dada cualquier funciónF:incógnita→R{\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }, podemos definir la derivada de Dini superior deF{\displaystyle f}por:

F+(incógnita,tú)=límite superiorh→0+F(incógnita+htú)−F(incógnita)h;{\displaystyle f^{+}(x,u)=\limsup _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}};}

donde u es cualquier vector unitario . Se dice que la función es pseudoconvexa si es creciente en cualquier dirección donde la derivada de Dini superior es positiva. Más precisamente, esto se caracteriza en términos del subgradiente∂F{\displaystyle \partial f}como sigue:

A pesar deincógnita,y∈incógnita{\displaystyle x,y\in X}: siincógnita∗∈∂F(incógnita){\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)}es tal que⟨incógnita∗,y−incógnita⟩≥0{\displaystyle \langle x^{*},y-x\rangle \geq 0}, entoncesF(incógnita)≤F(z){\displaystyle f(x)\leq f(z)}, para todosz∈[incógnita,y]{\displaystyle z\in [x,y]};

dónde[incógnita,y]{\displaystyle [x,y]}denota el segmento de línea adyacente a x e y .

AUna función pseudocóncava es una función cuyo negativo es pseudoconvexo.Una función pseudolineal es una función que es a la vez pseudoconvexa y pseudocóncava. [ 4 ] Por ejemplo,los programas lineales fraccionariosfunciones objetivopseudolinealesyrestricciones de desigualdad lineal. Estas propiedades permiten resolver problemas lineales fraccionarios mediante una variante delalgoritmo simplex(deGeorge B. Dantzig). [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

Dada una función con valores vectorialesη{\displaystyle \eta }, existe una noción más general deη{\displaystyle \eta }-pseudoconvexidad [ 8 ] [ 9 ] yη{\displaystyle \eta }-pseudolinealidad; donde la pseudoconvexidad clásica y la pseudolinealidad se refieren al caso en queη(incógnita,y)=y−incógnita{\displaystyle \eta (x,y)=y-x}.

Véase también

Notas

  1. ↑ Mangasarian 1965
  2. ↑ Mangasarian 1965
  3. ↑ Floudas & Pardalos 2001
  4. ↑ Rapcsak 1991
  5. ↑ Capítulo cinco: Craven, BD (1988). Programación fraccionaria . Serie Sigma en Matemáticas Aplicadas. Vol.  4. Berlín: Heldermann Verlag. pág.  145. ISBN 3-88538-404-3. SR 0949209 . 
  6. ↑ Kruk, Serge; Wolkowicz, Henry (1999). "Programación pseudolineal". SIAM Review . 41 (4): 795– 805. Bibcode : 1999SIAMR..41..795K . doi : 10.1137/S0036144598335259 . JSTOR 2653207 . MR 1723002 .  
  7. ↑ Mathis, Frank H.; Mathis, Lenora Jane (1995). "Un algoritmo de programación no lineal para la gestión hospitalaria". SIAM Review . 37 (2): 230– 234. doi : 10.1137/1037046 . JSTOR 2132826 . MR 1343214 . S2CID 120626738 .   
  8. ↑ Ansari, Qamrul Hasan; Lalitha, CS; Mehta, Monika (2013). Convexidad generalizada, desigualdades variacionales no suaves y optimización no suave . CRC Press. pág. 107. ISBN  9781439868218Consultado el 15 de julio de 2019 .
  9. ↑ Mishra, Shashi K.; Giorgi, Giorgio (2008). Invexity and Optimization . Springer Science & Business Media. p. 39. ISBN  9783540785613Consultado el 15 de julio de 2019 .

Referencias

  • Floudas, Christodoulos A. ; Pardalos, Panos M. (2001), "Generalized montone multivalued maps", Encyclopedia of Optimization , Springer, p.  227, ISBN 978-0-7923-6932-5.
  • Mangasarian, OL (enero de 1965). "Funciones pseudoconvexas". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Serie A: Control . 3 (2): 281– 290. doi : 10.1137/0303020 . ISSN 0363-0129 . .
  • Rapcsak, T. (15 de febrero de 1991). "Sobre funciones pseudolineales". European Journal of Operational Research . 50 (3): 353– 360. doi : 10.1016/0377-2217(91)90267-Y . ISSN 0377-2217 .