proporción de la población

Para derivar la fórmula de la proporción de una muestra en el intervalo Z , es necesario considerar una distribución muestral de proporciones muestrales. La media de la distribución muestral de proporciones muestrales se suele denotar como${\displaystyle \mu _{\hat {p}}=P}$y su desviación estándar se denota como: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \sigma _{\hat {p}}={\sqrt {\frac {P(1-P)}{n}}}}$

Dado que el valor de${\displaystyle P}$es desconocido, una estadística imparcial${\displaystyle {\hat {p}}}$se utilizará para${\displaystyle P}$La media y la desviación estándar se reescriben respectivamente como:

${\displaystyle \mu _{\sombrero {p}}={\sombrero {p}}}$y${\displaystyle \sigma _{\hat {p}}={\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}$

Aplicando el teorema del límite central , la distribución muestral de las proporciones de la muestra es aproximadamente normal , siempre que la muestra sea razonablemente grande y no esté sesgada.

Supongamos que se calcula la siguiente probabilidad:

${\displaystyle P\left(-z^{*}<{\frac {{\hat {p}}-P}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}<z^{*}\right)=C}$,

dónde${\displaystyle 0<C<1}$y${\displaystyle \pm z^{*}}$son los valores críticos estándar.

La desigualdad

${\displaystyle -z^{*}<{\frac {{\hat {p}}-P}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}<z^{*}}$

puede reescribirse algebraicamente de la siguiente manera:

${\displaystyle -z^{*}<{\frac {{\hat {p}}-P}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}<z^{*}}$

${\displaystyle \Rightarrow -z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}<{\hat {p}}-P<z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\hat {p}}-z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}<-P<-{\hat {p}}+z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\hat {p}}-z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}<P<{\hat {p}}+z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}$

En general, la fórmula utilizada para estimar una proporción poblacional requiere la sustitución de valores numéricos conocidos. Sin embargo, estos valores numéricos no pueden sustituirse "a ciegas" en la fórmula, ya que la inferencia estadística exige que la estimación de un parámetro desconocido esté justificada. Para que la estimación de un parámetro esté justificada, es necesario verificar tres condiciones:

1. Las observaciones individuales de los datos deben obtenerse a partir de una muestra aleatoria simple de la población de interés.
2. Las observaciones individuales de los datos deben mostrar normalidad . Esto se puede asumir matemáticamente con la siguiente definición:
   • Dejar${\displaystyle n}$Sea el tamaño de la muestra de una muestra aleatoria dada y sea${\displaystyle {\hat {p}}}$sea ​​su proporción muestral. Si ${\displaystyle n{\hat {p}}\geq 10}$ y ${\displaystyle n(1-{\hat {p}})\geq 10}$, entonces las observaciones individuales de los datos muestran normalidad.
3. Las observaciones individuales de los datos deben ser independientes entre sí. Esto se puede asumir matemáticamente con la siguiente definición:
   • Dejar${\displaystyle N}$sea ​​el tamaño de la población de interés y dejemos${\displaystyle n}$sea ​​el tamaño de la muestra de una muestra aleatoria simple de la población. Si${\displaystyle N\geq 10n}$, entonces las observaciones individuales de los datos son independientes entre sí.

Las condiciones para el muestreo aleatorio simple (SRS), la normalidad y la independencia a veces se denominan condiciones para la caja de herramientas de inferencia en la mayoría de los libros de texto de estadística .

Supongamos que se están celebrando elecciones presidenciales en una democracia. Una muestra aleatoria de 400 votantes elegibles de la población electoral de la democracia muestra que 272 votantes apoyan al candidato B. Un politólogo quiere determinar qué porcentaje de la población electoral apoya al candidato B.

Para responder a la pregunta del politólogo, se puede construir una proporción de una muestra en el intervalo Z con un nivel de confianza del 95% para determinar la proporción de la población de votantes elegibles en esta democracia que apoyan al candidato B.

Solución

Se sabe a partir de la muestra aleatoria que${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {272}{400}}=0.68}$con tamaño de muestra${\displaystyle n=400}$Antes de construir un intervalo de confianza, se verificarán las condiciones para la inferencia.

• Dado que se obtuvo una muestra aleatoria de 400 votantes de la población votante, se cumple la condición para una muestra aleatoria simple.
• Dejar${\displaystyle n=400}$y${\displaystyle {\hat {p}}=0.68}$, se comprobará si${\displaystyle n{\hat {p}}\geq 10}$ y${\displaystyle n(1-{\hat {p}})\geq 10}$

${\displaystyle (400)(0.68)\geq 10\Rightarrow 272\geq 10}$ y ${\displaystyle (400)(1-0.68)\geq 10\Rightarrow 128\geq 10}$

Se han cumplido las condiciones para la normalidad.

• Dejar${\displaystyle N}$sea ​​el tamaño de la población votante en esta democracia, y deje que${\displaystyle n=400}$. Si${\displaystyle N\geq 10n}$, entonces está la independencia.

${\displaystyle N\geq 10(400)\Rightarrow N\geq 4000}$

El tamaño de la población${\displaystyle N}$Se puede suponer que esta democracia cuenta con al menos 4.000 votantes. Por lo tanto, se cumple la condición para la independencia.

Una vez verificadas las condiciones para la inferencia, es admisible construir un intervalo de confianza.

Dejar${\displaystyle {\hat {p}}=0.68,n=400,}$y${\displaystyle C=0.95}$

Para resolver${\displaystyle z^{*}}$, la expresión${\displaystyle {\frac {1-C}{2}}}$se utiliza.

${\displaystyle {\frac {1-C}{2}}={\frac {1-0.95}{2}}={\frac {0.05}{2}}=0.0250}$

Al examinar una curva de campana normal estándar, el valor de${\displaystyle z^{*}}$se puede determinar identificando qué puntuación estándar da a la curva normal estándar un área de cola superior de 0,0250 o un área de 1 – 0,0250 = 0,9750. El valor para${\displaystyle z^{*}}$También se puede encontrar a través de una tabla de probabilidades normales estándar.

A partir de una tabla de probabilidades normales estándar, el valor de${\displaystyle Z}$que da un área de 0.9750 es 1.96. Por lo tanto, el valor para${\displaystyle z^{*}}$es 1,96.

Los valores para${\displaystyle {\hat {p}}=0.68}$,${\displaystyle n=400}$,${\displaystyle z^{*}=1.96}$Ahora se puede sustituir en la fórmula para la proporción de una muestra en el intervalo Z:

${\displaystyle {\hat {p}}\pm z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow (0.68)\pm (1.96){\sqrt {\frac {(0.68)(1-0.68)}{400}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 0.68\pm 1.96{\sqrt {0.000544}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\bigl (}0.63429,\,0.72571{\bigr )}}$

Basándonos en las condiciones de inferencia y la fórmula para la proporción de una muestra en el intervalo Z, se puede concluir con un nivel de confianza del 95% que el porcentaje de la población votante en esta democracia que apoya al candidato B está entre el 63,429% y el 72,571%.

Una pregunta frecuente en estadística inferencial es si un parámetro se encuentra dentro de un intervalo de confianza. La única forma de responder a esta pregunta es mediante un censo. Siguiendo el ejemplo anterior, la probabilidad de que la proporción poblacional se encuentre dentro del intervalo de confianza es 1 o 0. Es decir, el parámetro está incluido en el intervalo o no lo está. El objetivo principal de un intervalo de confianza es ilustrar mejor cuál podría ser el valor ideal de un parámetro.

Un error muy común que surge de la construcción de un intervalo de confianza es la creencia de que el nivel de confianza, como${\displaystyle C=95\%}$, significa 95% de probabilidad. Esto es incorrecto. El nivel de confianza se basa en una medida de certeza, no de probabilidad. Por lo tanto, los valores de${\displaystyle C}$Caen entre 0 y 1, exclusivamente.

Se puede obtener una estimación más precisa de P eligiendo el muestreo de conjuntos ordenados en lugar del muestreo aleatorio simple ^{[ 7 ] [ 8 ]}