Conjetura de la propiedad P

En topología geométrica , la conjetura de la propiedad P es una afirmación sobre las 3-variedades obtenidas mediante cirugía de Dehn en un nudo de la 3-esfera . Se dice que un nudo de la 3-esfera tiene la propiedad P si toda 3-variedad obtenida mediante cirugía de Dehn (no trivial) en dicho nudo no es simplemente conexa . ^{[ 1 ]} La conjetura afirma que todos los nudos, excepto el nudo simple, tienen la propiedad P.

La investigación sobre la propiedad P fue iniciada por RH Bing , quien popularizó el nombre y la conjetura.

Esta conjetura puede considerarse un primer paso para resolver la conjetura de Poincaré , ya que el teorema de Lickorish-Wallace afirma que cualquier 3-variedad cerrada y orientable resulta de la cirugía de Dehn en un enlace. ^{[ 2 ]} Si un nudo${\displaystyle K\subset \mathbb {S} ^{3}}$tiene la propiedad P, entonces no se puede construir un contraejemplo a la conjetura de Poincaré mediante cirugía.${\displaystyle K}$.

En 2004 se anunció una demostración, como resultado conjunto de los esfuerzos de matemáticos que trabajan en varios campos diferentes.

Dejar${\displaystyle [l],[m]\in \pi _{1}(\mathbb {S} ^{3}\setminus K)}$denotan elementos correspondientes a una longitud y meridiano preferidos de un vecindario tubular de${\displaystyle K}$.

${\displaystyle K}$tiene la propiedad P si y solo si su grupo de nudos nunca se trivializa al adjuntar una relación de la forma${\displaystyle m=l^{a}}$para algunos${\displaystyle 0\neq a\in \mathbb {Z} }$.

• Eliashberg, Yakov (2004). "Algunas observaciones sobre el llenado simpléctico". Geometría y Topología . 8 : 277–293 . arXiv : math.SG/0311459 . doi : 10.2140/gt.2004.8.277 .
• Etnyre, John B. (2004). "Sobre rellenos simplécticos". Topología algebraica y geométrica . 4 : 73–80 . arXiv : math.SG/0312091 . doi : 10.2140/agt.2004.4.73 .
• Kronheimer, Peter ; Mrowka, Tomasz (2004). "La conjetura de Witten y la propiedad P". Geometry & Topology . 8 : 295–310 . arXiv : math.GT/0311489 . doi : 10.2140/gt.2004.8.295 .
• Ozsváth, Peter ; Szabó, Zoltán (2004). "Discos holomorfos y límites de género". Geometría y topología . 8 : 311– 334. arXiv : math.GT/0311496 . doi : 10.2140/gt.2004.8.311 .
• Rolfsen, Dale (1976), "Capítulo 9.J", Nudos y enlaces , Serie de conferencias de matemáticas, vol.  7, Berkeley, California : Publish or Perish, pp. 280–283 , ISBN  0-914098-16-0, MR 0515288 
• Adams, Colin (2004). El libro de los nudos  : Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . American Mathematical Society. pág.  262. ISBN 0-8218-3678-1.