Descomposición ortogonal propia

La descomposición ortogonal propia es un método numérico que permite reducir la complejidad de simulaciones computacionales intensivas, como la dinámica de fluidos computacional y el análisis estructural (por ejemplo, simulaciones de colisiones ). Típicamente, en el análisis de dinámica de fluidos y turbulencias , se utiliza para reemplazar las ecuaciones de Navier-Stokes por modelos más sencillos de resolver. ^{[ 1 ]}

La descomposición ortogonal propia está asociada con la reducción del orden del modelo . El modelo descompuesto ortogonalmente puede caracterizarse como un modelo sustituto ; por ello, el método también se asocia con el campo del aprendizaje automático .

El uso principal de la descomposición ortogonal (POD) es descomponer un campo físico (como la presión, la temperatura en dinámica de fluidos o la tensión y la deformación en análisis estructural), dependiendo de las diferentes variables que influyen en su comportamiento físico. Como su nombre indica, opera una descomposición ortogonal junto con los componentes principales del campo. Por ello, se asimila con el análisis de componentes principales de Pearson en el campo de la estadística, o la descomposición en valores singulares en álgebra lineal, ya que se refiere a los autovalores y autovectores de un campo físico. En esos dominios, se asocia con la investigación de Karhunen ^{[ 2 ]} y Loève ^{[ 3 ]} , y su teorema de Karhunen-Loève .

La primera idea detrás de la Descomposición Ortogonal Propia (POD), tal como fue formulada originalmente en el dominio de la dinámica de fluidos para analizar turbulencias, es descomponer un campo vectorial aleatorio u(x, t) en un conjunto de funciones espaciales deterministas Φ _k ( x ) moduladas por coeficientes de tiempo aleatorios a _k ( t ) de manera que:

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}(t)\phi _{k}(x)}$

El primer paso es muestrear el campo vectorial durante un período de tiempo en lo que llamamos instantáneas (como se muestra en la imagen de las instantáneas POD). Este método de instantáneas ^{[ 4 ]} consiste en promediar las muestras sobre la dimensión espacial n y correlacionarlas entre sí a lo largo de las muestras de tiempo p :

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u(x_{1},t_{1})&\cdots &u(x_{n},t_{1})\\\vdots &&\vdots \\u(x_{1},t_{p})&\cdots &u(x_{n},t_{p})\end{pmatrix}}}$con n elementos espaciales y p muestras de tiempo.

El siguiente paso es calcular la matriz de covarianza C

${\displaystyle C={\frac {1}{(p-1)}}U^{T}U}$

A continuación, calculamos los valores propios y los vectores propios de C y los ordenamos desde el valor propio mayor hasta el menor.

Obtenemos n valores propios λ1,...,λn y un conjunto de n vectores propios dispuestos como columnas en una matriz Φ de n × n:

${\displaystyle \phi ={\begin{pmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,n}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{n,1}&\cdots &\phi _{n,n}\end{pmatrix}}}$

• MIT: http://web.mit.edu/6.242/www/images/lec6_6242_2004.pdf
• Universidad de Stanford - Charbel Farhat y David Amsallem https://web.stanford.edu/group/frg/course_work/CME345/CA-AA216-CME345-Ch4.pdf
• Weiss, Julien: Un tutorial sobre la descomposición ortogonal propia. En: Foro de Aviación AIAA 2019. 17-21 de junio de 2019, Dallas, Texas, Estados Unidos.
• Curso de francés del CNRS https://www.math.u-bordeaux.fr/~mbergman/PDF/OuvrageSynthese/OCET06.pdf
• Aplicaciones del método de descomposición ortogonal propia http://www.cerfacs.fr/~cfdbib/repository/WN_CFD_07_97.pdf