Frecuencia de superación

La frecuencia de excedencia , también conocida como tasa anual de excedencia , es la frecuencia con la que un proceso aleatorio supera un valor crítico. Por lo general, este valor crítico se encuentra lejos de la media. Se define habitualmente en términos del número de picos del proceso aleatorio que se sitúan fuera del límite. Tiene aplicaciones relacionadas con la predicción de eventos extremos, como grandes terremotos e inundaciones .

La frecuencia de excedencia es el número de veces que un proceso estocástico excede algún valor crítico, generalmente un valor crítico alejado de la media del proceso, por unidad de tiempo. ^{[ 1 ]} El conteo de excedencias del valor crítico puede realizarse contando los picos del proceso que exceden el valor crítico ^{[ 1 ]} o contando los cruces ascendentes del valor crítico, donde un cruce ascendente es un evento en el que el valor instantáneo del proceso cruza el valor crítico con pendiente positiva. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Este artículo asume que los dos métodos de conteo de excedencias son equivalentes y que el proceso tiene un cruce ascendente y un pico por cada excedencia. Sin embargo, los procesos, especialmente los procesos continuos con componentes de alta frecuencia en sus densidades espectrales de potencia, pueden tener múltiples cruces ascendentes o múltiples picos en rápida sucesión antes de que el proceso vuelva a su media. ^{[ 3 ]}

Consideremos un proceso gaussiano escalar de media cero y ( t ) con varianza σ _y ² y densidad espectral de potencia Φ _y ( f ) , donde f es una frecuencia. Con el tiempo, este proceso gaussiano tiene picos que superan un valor crítico y _max > 0 . Contando el número de cruces ascendentes de y _max , la frecuencia de superación de y _max viene dada por ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle N(y_{\max })=N_{0}e^{-{\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {y_{\max }}{\sigma _{y}}}\right)^{2}}.}$

N ₀ es la frecuencia de cruces ascendentes de 0 y está relacionada con la densidad espectral de potencia como

${\displaystyle N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}}.}$

Para un proceso gaussiano, la aproximación de que el número de picos por encima del valor crítico y el número de cruces ascendentes del valor crítico son iguales es buena para y _max /σ _y > 2 y para ruido de banda estrecha . ^{[ 1 ]}

Para densidades espectrales de potencia que decaen menos abruptamente que f ⁻³ cuando f →∞ , la integral en el numerador de N ₀ no converge. Hoblit proporciona métodos para aproximar N ₀ en tales casos con aplicaciones dirigidas a ráfagas continuas . ^{[ 4 ]}

A medida que el proceso aleatorio evoluciona con el tiempo, el número de picos que superaron el valor crítico y _max crece y es en sí mismo un proceso de conteo . Para muchos tipos de distribuciones del proceso aleatorio subyacente, incluidos los procesos gaussianos, el número de picos por encima del valor crítico y _max converge a un proceso de Poisson cuando el valor crítico se vuelve arbitrariamente grande. Los tiempos entre llegadas de este proceso de Poisson se distribuyen exponencialmente con una tasa de decaimiento igual a la frecuencia de excedencia N ( y _max ) . ^{[ 5 ]} Por lo tanto, el tiempo medio entre picos, incluido el tiempo de residencia o tiempo medio antes del primer pico, es el inverso de la frecuencia de excedencia N ⁻¹ ( y _max ) .

Si el número de picos que superan y _max crece como un proceso de Poisson, entonces la probabilidad de que en el tiempo t aún no haya habido ningún pico que supere y _max es e ^{− N ( y _max ) t} . ^{[ 6 ]} Su complemento,

${\displaystyle p_{ex}(t)=1-e^{-N(y_{\max })t},}$

es la probabilidad de excedencia , la probabilidad de que y _max se haya excedido al menos una vez en el tiempo t . ^{[ 7 ] [ 8 ]} Esta probabilidad puede ser útil para estimar si ocurrirá un evento extremo durante un período de tiempo específico, como la vida útil de una estructura o la duración de una operación.

Si N ( y _max ) t es pequeño, por ejemplo para la frecuencia de un evento raro que ocurre en un corto período de tiempo, entonces

${\displaystyle p_{ex}(t)\approx N(y_{\max })t.}$

Bajo este supuesto, la frecuencia de excedencia es igual a la probabilidad de excedencia por unidad de tiempo , p _ex / t , y la probabilidad de excedencia se puede calcular simplemente multiplicando la frecuencia de excedencia por la duración de tiempo especificada.

• Probabilidad de terremotos importantes ^{[ 9 ]}
• Pronóstico del tiempo ^{[ 10 ]}
• Hidrología y cargas en estructuras hidráulicas ^{[ 11 ]}
• Cargas de ráfagas en aeronaves ^{[ 12 ]}

• inundación de 100 años
• Análisis de frecuencia acumulada
• teoría de valores extremos
• Puntuación percentil
• La fórmula de Rice

• Hoblit, Frederic M. (1988). Cargas por ráfagas en aeronaves: conceptos y aplicaciones . Washington, DC: American Institute of Aeronautics and Astronautics, Inc. ISBN 0930403452.
• Feller, William (1968). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Vol.  1 (3.ª  ed.). Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 9780471257080.
• Leadbetter, MR; Lindgren, Georg; Rootzén, Holger (1983). Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes . Nueva York: Springer–Verlag. ISBN 9781461254515.
• Rice, SO (1945). "Análisis matemático del ruido aleatorio: Parte III Propiedades estadísticas de las corrientes de ruido aleatorio". Bell System Technical Journal . 24 (1): 46– 156. doi : 10.1002/(ISSN)1538-7305c .
• Richardson, Johnhenri R.; Atkins, Ella M. ; Kabamba, Pierre T.; Girard, Anouck R. (2014). "Márgenes de seguridad para el vuelo a través de ráfagas estocásticas". Journal of Guidance, Control, and Dynamics . 37 (6). AIAA: 2026– 2030. doi : 10.2514/1.G000299 . hdl : 2027.42/140648 .