Modelo gráfico

El grafo no dirigido que se muestra puede tener varias interpretaciones; la característica común es que la presencia de una arista implica algún tipo de dependencia entre las variables aleatorias correspondientes. A partir de este grafo, podemos deducir que B, C y D son condicionalmente independientes dado A. Esto significa que si se conoce el valor de A, entonces los valores de B, C y D no proporcionan información adicional entre sí. De forma equivalente (en este caso), la distribución de probabilidad conjunta se puede factorizar como:

${\displaystyle P[A,B,C,D]=f_{AB}[A,B]\cdot f_{AC}[A,C]\cdot f_{AD}[A,D]}$

para algunas funciones no negativas${\displaystyle f_{AB},f_{AC},f_{AD}}$.

Si la estructura de red del modelo es un grafo dirigido acíclico , el modelo representa una factorización de la probabilidad conjunta de todas las variables aleatorias. Más precisamente, si los eventos son${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$entonces la probabilidad conjunta satisface

${\displaystyle P[X_{1},\ldots ,X_{n}]=\prod _{i=1}^{n}P[X_{i}|{\text{pa}}(X_{i})]}$

dónde${\displaystyle {\text{pa}}(X_{i})}$es el conjunto de padres del nodo${\displaystyle X_{i}}$(nodos con aristas dirigidas hacia${\displaystyle X_{i}}$). En otras palabras, la distribución conjunta se factoriza en un producto de distribuciones condicionales. Por ejemplo, en el grafo acíclico dirigido que se muestra en la figura, esta factorización sería

${\displaystyle P[A,B,C,D]=P[A]\cdot P[B|A]\cdot P[C|A]\cdot P[D|A,C]}$.

Dos nodos cualesquiera son condicionalmente independientes dados los valores de sus padres. En general, dos conjuntos cualesquiera de nodos son condicionalmente independientes dado un tercer conjunto si se cumple un criterio denominado d -separación en el grafo. Las independencias locales y globales son equivalentes en las redes bayesianas.

Este tipo de modelo gráfico se conoce como modelo gráfico dirigido, red bayesiana o red de creencias. Los modelos clásicos de aprendizaje automático, como los modelos ocultos de Markov y las redes neuronales , y los modelos más recientes, como los modelos de Markov de orden variable, pueden considerarse casos especiales de redes bayesianas.

Una de las redes bayesianas más simples es el clasificador Naive Bayes .

La siguiente figura muestra un modelo gráfico con un ciclo. Esto puede interpretarse en términos de que cada variable "depende" de los valores de sus padres de alguna manera. El gráfico en particular que se muestra sugiere una densidad de probabilidad conjunta que se factoriza como

${\displaystyle P[A,B,C,D]=P[A]\cdot P[B]\cdot P[C,D|A,B]}$,

pero son posibles otras interpretaciones. ^{[ 2 ]}

• Red de dependencias donde se permiten ciclos
• Clasificador aumentado por árbol o modelo TAN

• Aprendizaje de redes bayesianas dirigidas (TBNL)

  

• Un grafo factorial es un grafo bipartito no dirigido que conecta variables y factores. Cada factor representa una función sobre las variables a las que está conectado. Esta representación resulta útil para comprender e implementar la propagación de creencias .
• Un árbol de camarillas o árbol de unión es un árbol de camarillas , utilizado en el algoritmo del árbol de unión .
• Un grafo en cadena es un grafo que puede tener aristas dirigidas y no dirigidas, pero sin ciclos dirigidos (es decir, si comenzamos en cualquier vértice y nos movemos a lo largo del grafo respetando la dirección de las flechas, no podemos regresar al vértice de partida si hemos pasado una flecha). Tanto los grafos acíclicos dirigidos como los grafos no dirigidos son casos especiales de grafos en cadena, lo que permite unificar y generalizar las redes bayesianas y de Markov. ^{[ 3 ]}
• Un grafo ancestral es una extensión adicional, que posee aristas dirigidas, bidireccionales y no dirigidas. ^{[ 4 ]}
• Técnicas de campo aleatorio
  • Un campo aleatorio de Markov , también conocido como red de Markov, es un modelo sobre un grafo no dirigido . Un modelo gráfico con muchas subunidades repetidas se puede representar con notación de placas .
  • Un campo aleatorio condicional es un modelo discriminativo especificado sobre un grafo no dirigido.
• Una máquina de Boltzmann restringida es un modelo generativo bipartito especificado sobre un grafo no dirigido.
• Un árbol por etapas es una extensión de una red bayesiana para secuencias de eventos de valor discreto. Permite independencias específicas del contexto y espacios muestrales no producto.

• Barber, David (2012). Razonamiento bayesiano y aprendizaje automático . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51814-7.

• Bishop, Christopher M. (2006). «Capítulo 8. Modelos gráficos» (PDF) . Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático . Springer. pp. 359–422 . ISBN  978-0-387-31073-2MR 2247587 .​ 
• Cowell, Robert G.; David, A. Felipe ; Lauritzen, Steffen L.; Spiegelhalter, David J. (1999). Redes probabilísticas y sistemas expertos . Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-98767-5. MR 1697175 . Un libro más avanzado y orientado a la estadística.
• Jensen, Finn (1996). Introducción a las redes bayesianas . Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-91502-9.
• Perla, Judea (1988). Razonamiento probabilístico en sistemas inteligentes (2ª  edición revisada). San Mateo, California: Morgan Kaufmann . ISBN 978-1-55860-479-7. SR 0965765 . Un enfoque de razonamiento computacional, donde se introdujeron formalmente las relaciones entre gráficos y probabilidades.

• Edoardo M. Airoldi (2007). " Introducción a los modelos gráficos probabilísticos" . PLOS Computational Biology . 3 (12): e252. arXiv : 0706.2040 . Bibcode : 2007PLSCB...3..252A . doi : 10.1371/journal.pcbi.0030252 . PMC 2134967. PMID 18069887 .  
• Jordan, MI (2004). "Modelos gráficos" . Ciencia estadística . 19 : 140–155 . doi : 10.1214/088342304000000026 .
• Ghahramani, Zoubin (mayo de 2015). " Aprendizaje automático probabilístico e inteligencia artificial" . Nature . 521 (7553): 452– 459. Bibcode : 2015Natur.521..452G . doi : 10.1038/nature14541 . PMID 26017444. S2CID 216356 .  

• Tutorial de aprendizaje de redes bayesianas de Heckerman
• Breve introducción a los modelos gráficos y las redes bayesianas
• Diapositivas de la clase de Sargur Srihari sobre modelos gráficos probabilísticos