Módulo principal indescomponible

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo principal indescomponible tiene muchas relaciones importantes con el estudio de los módulos de un anillo , especialmente sus módulos simples , módulos proyectivos y módulos indescomponibles .

Un módulo principal indescomponible (izquierdo) de un anillo R es un submódulo (izquierdo) de R que es un sumando directo de R y es un módulo indescomponible . Alternativamente, es un módulo cíclico , proyectivo e indescomponible . Los módulos principales indescomponibles también se denominan, por sus siglas en inglés, PIM .

Los módulos proyectivos indescomponibles sobre algunos anillos tienen conexiones muy estrechas con los módulos simples, proyectivos e indescomponibles de esos anillos.

Si el anillo R es artiniano o incluso semiperfecto , entonces R es una suma directa de módulos principales indescomponibles, y existe una clase de isomorfismo de PIM por cada clase de isomorfismo de módulo simple. A cada PIM P se le asocia su cabeza , P / JP , que es un módulo simple, siendo un módulo semisimple indescomponible. A cada módulo simple S se le asocia su recubrimiento proyectivo P , que es un PIM, siendo un módulo cíclico, proyectivo e indescomponible.

De manera similar, sobre un anillo semiperfecto , todo módulo proyectivo indescomponible es un PIM, y todo módulo proyectivo finitamente generado es una suma directa de PIM.

En el contexto de las álgebras de grupo de grupos finitos sobre cuerpos (que son anillos semiperfectos), el anillo de representación describe los módulos indescomponibles, y los caracteres modulares de los módulos simples representan tanto un subanillo como un anillo cociente. El anillo de representación sobre el cuerpo complejo suele entenderse mejor, y dado que los PIM corresponden a módulos sobre los complejos mediante el sistema p -modular, se pueden usar los PIM para transferir información del anillo de representación de complejos al anillo de representación sobre un cuerpo de característica positiva. En términos generales, esto se conoce como teoría de bloques.

Sobre un dominio de Dedekind que no es un PID , el grupo de clases ideal mide la diferencia entre módulos proyectivos indescomponibles y módulos principales indescomponibles: los módulos proyectivos indescomponibles son exactamente los (módulos isomorfos a) ideales no nulos y los módulos principales indescomponibles son precisamente los (módulos isomorfos a) ideales principales no nulos.

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