Teorema de los ejes principales

En geometría y álgebra lineal , un eje principal es una línea determinada en el espacio euclidiano asociada a un elipsoide o hiperboloide , que generaliza los ejes mayor y menor de una elipse o hipérbola . El teorema de los ejes principales establece que estos son perpendiculares y proporciona un procedimiento constructivo para hallarlos.

Matemáticamente, el teorema de los ejes principales es una generalización del método de completar el cuadrado del álgebra elemental . En álgebra lineal y análisis funcional , el teorema de los ejes principales es el equivalente geométrico del teorema espectral . Tiene aplicaciones en la estadística del análisis de componentes principales y la descomposición en valores singulares . En física , el teorema es fundamental para el estudio del momento angular y la birrefringencia .

Las ecuaciones en el plano cartesiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}:}$⁠$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{25}}&=1\\[3pt]{\frac {x^{2}}{9}}-{\frac {y^{2}}{25}}&=1\end{aligned}}}$$ definen, respectivamente, una elipse y una hipérbola. En cada caso, los ejes x e y son los ejes principales. Esto se ve fácilmente, dado que no hay términos cruzados que involucren productos xy en ninguna de las expresiones. Sin embargo, la situación es más complicada para ecuaciones como $${\displaystyle 5x^{2}+8xy+5y^{2}=1.}$$

Aquí se requiere algún método para determinar si se trata de una elipse o una hipérbola . La observación básica es que si, al completar el cuadrado , la expresión cuadrática se puede reducir a una suma de dos cuadrados, entonces la ecuación define una elipse, mientras que si se reduce a una diferencia de dos cuadrados, entonces la ecuación representa una hipérbola: $${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}&=1\qquad {\text{(elipse)}}\\u(x,y)^{2}-v(x,y)^{2}&=1\qquad {\text{(hipérbola)}}.\end{aligned}}}$$

Así, en nuestro ejemplo, el problema consiste en cómo incorporar el coeficiente del término cruzado 8 xy en las funciones u y v . Formalmente, este problema es similar al de la diagonalización de matrices , donde se busca un sistema de coordenadas adecuado en el que la matriz de una transformación lineal sea diagonal . El primer paso es encontrar una matriz en la que se pueda aplicar la técnica de diagonalización.

El truco consiste en escribir la forma cuadrática como $${\displaystyle 5x^{2}+8xy+5y^{2}={\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&4\\4&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {Ax} }$$ donde el término cruzado se ha dividido en dos partes iguales. La matriz A en la descomposición anterior es una matriz simétrica . En particular, por el teorema espectral , tiene valores propios reales y es diagonalizable por una matriz ortogonal ( ortogonalmente diagonalizable ).

Para diagonalizar ortogonalmente A , primero se deben encontrar sus autovalores y luego encontrar una base propia ortonormal . El cálculo revela que los autovalores de A son $${\displaystyle \lambda _{1}=1,\quad \lambda _{2}=9}$$

con los autovectores correspondientes $${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$$

Al dividir estos valores por sus respectivas longitudes, se obtiene una base propia ortonormal: $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}.}$$

Ahora la matriz S = [ u ₁ u ₂ ] es una matriz ortogonal, ya que tiene columnas ortonormales, y A está diagonalizada por: $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {SDS} ^{-1}=\mathbf {SDS} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&9\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}.}$$

Esto se aplica al problema actual de "diagonalizar" la forma cuadrática a través de la observación de que $${\displaystyle {\begin{aligned}5x^{2}+8xy+5y^{2}&=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {Ax} \\&=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {SDS} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {x} \\&=\left(\mathbf {S} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \right)^{\textsf {T}}\mathbf {D} \left(\mathbf {S} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \right)\\&=1\left({\frac {xy}{\sqrt {2}}}\right)^{2}+9\left({\frac {x+y}{\sqrt {2}}}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la ecuación${\displaystyle 5x^{2}+8xy+5y^{2}=1}$es la de una elipse, ya que el lado izquierdo se puede escribir como la suma de dos cuadrados.

Resulta tentador simplificar esta expresión extrayendo factores de 2. Sin embargo, es importante no hacerlo. Las cantidades $${\displaystyle c_{1}={\frac {xy}{\sqrt {2}}},\quad c_{2}={\frac {x+y}{\sqrt {2}}}}$$ tienen un significado geométrico. Determinan un sistema de coordenadas ortonormales en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$En otras palabras, se obtienen a partir de las coordenadas originales mediante la aplicación de una rotación (y posiblemente una reflexión). En consecuencia, se pueden usar las coordenadas c ₁ y c ₂ para hacer afirmaciones sobre longitud y ángulos (en particular la longitud), lo que de otro modo sería más difícil con una elección diferente de coordenadas (por ejemplo, al reescalarlas). Por ejemplo, la distancia máxima desde el origen en la elipse $${\displaystyle c_{1}^{2}+9c_{2}^{2}=1}$$ ocurre cuando c ₂ = 0 , por lo que en los puntos c ₁ = ±1 . De manera similar, la distancia mínima es donde c ₂ = ±1/3 .

Ahora es posible leer los ejes mayor y menor de esta elipse. Estos son precisamente los autoespacios individuales de la matriz A , ya que son donde c ₂ = 0 o c ₁ = 0. Simbólicamente, los ejes principales son $${\displaystyle E_{1}=\operatorname {span} \left({\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\right),\quad E_{2}=\operatorname {span} \left({\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\right).}$$

En resumen:

• La ecuación corresponde a una elipse, ya que ambos autovalores son positivos. (De lo contrario, si uno fuera positivo y el otro negativo, sería una hipérbola).
• Los ejes principales son las líneas definidas por los vectores propios.
• Las distancias mínima y máxima al origen se pueden leer en la ecuación en forma diagonal.

Utilizando esta información, es posible obtener una imagen geométrica clara de la elipse: por ejemplo, graficarla.

El teorema del eje principal se refiere a formas cuadráticas en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$que son polinomios homogéneos de grado 2. Cualquier forma cuadrática puede representarse como $${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {Ax} }$$ donde A es una matriz simétrica.

La primera parte del teorema está contenida en las siguientes afirmaciones garantizadas por el teorema espectral:

• Los valores propios de A son reales.
• A es diagonalizable y los autoespacios de A son mutuamente ortogonales.

En particular, A es ortogonalmente diagonalizable , ya que se puede tomar una base de cada espacio propio y aplicar el proceso de Gram-Schmidt por separado dentro del espacio propio para obtener una base propia ortonormal.

Para la segunda parte, supongamos que los autovalores de A son λ ₁ , ..., λ _n (posiblemente repetidos según sus multiplicidades algebraicas ) y la base de autovalores ortonormal correspondiente es u ₁ , ..., u _n . Entonces, $${\displaystyle \mathbf {c} =[\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}]^{\textsf {T}}\mathbf {x} ,}$$ y $${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\lambda _{1}c_{1}^{2}+\lambda _{2}c_{2}^{2}+\dots +\lambda _{n}c_{n}^{2},}$$

donde c _i es la i -ésima entrada de c . Además,

El i -ésimo eje principal es la línea determinada al igualar c _j = 0 para todo j = 1, ..., i − 1, i + 1, ..., n . El i -ésimo eje principal es el espacio generado por el vector u _i .

• Ley de inercia de Sylvester

• Strang, Gilbert (1994). Introducción al álgebra lineal . Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.