Primordial

En matemáticas , y más particularmente en teoría de números , primorial , denotado por "${\displaystyle p_{n}\#}$", es una función de números naturales a números naturales similar a la función factorial , pero en lugar de multiplicar sucesivamente enteros positivos, la función solo multiplica números primos .

El nombre "primorial", acuñado por Harvey Dubner , establece una analogía con los números primos, de forma similar a como el nombre "factorial" se relaciona con los factores .

El primordio${\displaystyle p_{n}\#}$se define como el producto del primero${\displaystyle n}$primos: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},}$

dónde${\displaystyle p_{k}}$es el ⁠${\displaystyle k}$⁠ el enésimo número primo. Por ejemplo,${\displaystyle p_{5}\#}$significa el producto de los primeros 5 números primos:

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Los primeros primordios${\displaystyle p_{n}\#}$son:

1 , 2 , 6 , 30 , 210 , 2310 , 30030, 510510, 9699690... (secuencia A002110 en el OEIS ) .

Asintóticamente, los primordios crecen según ^{[ 2 ].}

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n}.}$

En general, para un entero positivo${\displaystyle n}$⁠ , su primogénito${\displaystyle n\#}$es el producto de todos los números primos menores o iguales a${\displaystyle n}$⁠ ; es decir, ^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle n\#=\prod _{p\,\leq \,n \atop p\,{\text{prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,}$

dónde${\displaystyle \pi (n)}$es la función de conteo de números primos (secuencia A000720 en el OEIS ) . Esto es equivalente a

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{si }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{si }}n{\text{ es primo}}\\(n-1)\#&{\text{si }}n{\text{ es compuesto}}.\end{cases}}}$

Por ejemplo,${\displaystyle 12\#}$representa el producto de todos los números primos no mayores que ⁠${\displaystyle 12}$:​

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Desde${\displaystyle \pi (12)=5}$Esto se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

Consideremos los primeros 12 valores de la secuencia .${\displaystyle n\#}$:​

${\displaystyle 1,2,6,6,30,30,210,210,210,210,2310,2310.}$

Vemos que para compuestos${\displaystyle n}$, cada término${\displaystyle n\#}$es igual al término precedente${\displaystyle (n-1)\#}$⁠ . En el ejemplo anterior tenemos${\displaystyle 12\#=p_{5}\#=11\#}$desde​${\displaystyle 12}$es compuesto.

Los primordiales están relacionados con la primera función de Chebyshev.${\displaystyle \vartheta (n)}$por ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta (n).}$

Desde${\displaystyle \vartheta (n)}$se aproxima asintóticamente${\displaystyle n}$para valores grandes de ⁠${\displaystyle n}$⁠ , por lo tanto, los primordios crecen según:

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1))n}.}$

• Para cualquier${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} }$⁠ ,${\displaystyle n\#=p\#}$si y solo si${\displaystyle p}$es el mayor primo tal que${\displaystyle p\leq n}$⁠ .
• Dejar${\displaystyle p_{k}}$ser el/ la${\displaystyle k}$⁠ el primo. Entonces${\displaystyle p_{k}\#}$tiene exactamente${\displaystyle 2^{k}}$divisores.
• La suma de los valores recíprocos del primorial converge hacia una constante.

  ${\displaystyle \sum _{p\,{\text{prime}}}{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots }$(secuencia A064648 en el OEIS )

La expansión de Engel de este número resulta en la secuencia de los números primos. Griffiths (2015) demostró que es irracional. ^{[ 5 ]}

• La demostración de Euclides de su teorema sobre la infinitud de los números primos puede parafrasearse diciendo que, para cualquier primo${\displaystyle p}$, el número${\displaystyle p\#+1}$tiene un divisor primo que no está contenido en el conjunto de primos menores o iguales a${\displaystyle p}$.
• ⁠${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$. Para​${\displaystyle n<10^{11}}$⁠ , los valores son menores que${\displaystyle e}$, ^{[ 6 ]} pero para tamaños mayores${\displaystyle n}$, los valores de la función superan${\displaystyle e}$y oscilar infinitamente alrededor${\displaystyle e}$luego.
• Dado que el coeficiente binomial${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$es divisible por todo primo entre${\displaystyle n+1}$y​${\displaystyle 2n}$y desde entonces${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}\leq 4^{n}}$, tenemos el siguiente límite superior: ^{[ 7 ]}${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$.
  • Utilizando métodos elementales, Denis Hanson demostró que${\displaystyle n\#\leq 3^{n}}$⁠ . ^{[ 8 ]}
  • Utilizando métodos más avanzados, Rosser y Schoenfeld demostraron que${\displaystyle n\#\leq (2.763)^{n}}$. ^{[ 9 ]} Además, demostraron que para ⁠${\displaystyle n\geq 563}$,​​${\displaystyle n\#\geq (2.22)^{n}}$⁠ . ^{[ 9 ]}

Los números primos juegan un papel en la búsqueda de números primos en progresiones aritméticas aditivas . Por ejemplo, ${\displaystyle 2236133941+23\#}$da como resultado un número primo, comenzando una secuencia de trece primos que se encuentran sumando repetidamente ⁠${\displaystyle 23\#}$y terminando con${\displaystyle 5136341251}$⁠ .${\displaystyle 23\#}$También es la diferencia común en las progresiones aritméticas de quince y dieciséis números primos.

Todo número altamente compuesto es producto de primordios. ^{[ 10 ]}

Los primoriales son todos enteros libres de cuadrados , y cada uno tiene más factores primos distintos que cualquier número menor que él. Para cada primorial${\displaystyle n}$⁠ , la fracción${\displaystyle \varphi (n)/n}$es menor que para cualquier entero positivo menor que ⁠${\displaystyle n}$, donde${\displaystyle \varphi }$es la función totiente de Euler .

Cualquier función completamente multiplicativa se define por sus valores en los primordios, ya que se define por sus valores en los números primos, que se pueden recuperar dividiendo los valores adyacentes.

Los sistemas de base que corresponden a los primoriales (como la base 30, que no debe confundirse con el sistema de numeración primorial ) tienen una menor proporción de fracciones repetidas que cualquier base más pequeña.

Todo primorial es un número totiente disperso . ^{[ 11 ]}

El​${\displaystyle n}$-compositorial de un número compuesto${\displaystyle n}$⁠ es el producto de todos los números compuestos hasta e incluyendo ⁠${\displaystyle n}$⁠ . ^{[ 12 ]} El ⁠${\displaystyle n}$⁠ -compositorial es igual a ⁠${\displaystyle n}$- factorial dividido por elprimorial${\displaystyle n\#}$⁠ . Los compositores son

1 , 4 , 24 , 192 , 1728 ,17 280 ,207 360 ,2 903 040 ,43 545 600 ,696 729 600 , ... ^{[ 13 ]}

La función zeta de Riemann en enteros positivos mayores que uno se puede expresar ^{[ 14 ]} utilizando la función primorial y la función totiente de Jordan .${\displaystyle J_{k}}$:​

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k\in \mathbb {Z} _{>1}}$.

• La desigualdad de Bonse
• función de Chebyshev
• Sistema de números primordios
• primordio primordial

• Dubner, Harvey (1987). "Primos factoriales y primos". J. Recr. Math. 19 : 197–203 .
• Spencer, Adam "Top 100" Número 59 parte 4.