Gráfico primo

En las matemáticas de la teoría de grafos y los grupos finitos , un grafo primo es un grafo no dirigido definido a partir de un grupo . Estos grafos fueron introducidos en un artículo de 1981 por J.S. Williams, atribuido a un trabajo inédito de 1975 de Karl W. Gruenberg y Otto H. Kegel . ^{[ 1 ]}

El grafo primo de un grupo tiene un vértice por cada número primo que divide el orden (número de elementos) del grupo dado, y una arista que conecta cada par de números primos.${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$para el cual existe un elemento de grupo con orden${\displaystyle pq}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

De forma equivalente, hay una ventaja de${\displaystyle p}$a${\displaystyle q}$siempre que el grupo dado contenga elementos conmutativos de orden${\displaystyle p}$y de orden${\displaystyle q}$, ^{[ 1 ]} o siempre que el grupo dado contenga un grupo cíclico de orden${\displaystyle pq}$como uno de sus subgrupos. ^{[ 2 ]}

Ciertos grupos simples finitos pueden reconocerse por los grados de los vértices en sus grafos primos. ^{[ 3 ]} Los componentes conexos de un grafo primo tienen un diámetro como máximo de cinco, y como máximo de tres para grupos resolubles . ^{[ 4 ]} Cuando un grafo primo es un árbol , tiene como máximo ocho vértices, y como máximo cuatro para grupos resolubles. ^{[ 5 ]}

Variaciones de grafos primos que reemplazan la existencia de un subgrupo cíclico de orden${\displaystyle pq}$También se han estudiado las definiciones de adyacencia en un grafo primo, mediante la existencia de un subgrupo de otro tipo. ^{[ 2 ]} Resultados similares se han obtenido a partir de una familia relacionada de grafos, derivados de un grupo finito a través de los grados de sus caracteres en lugar de los órdenes de sus elementos. ^{[ 6 ]}