Hispanopedia WikiEn matemáticas , la compactificación del extremo primo es un método para compactificar un disco topológico (es decir, un conjunto abierto simplemente conexo en el plano) añadiendo el círculo límite de forma apropiada.
Notas históricas
El concepto de extremos primos fue introducido por Constantin Carathéodory para describir el comportamiento de frontera de las aplicaciones conformes en el plano complejo en términos geométricos. [ 1 ] La teoría se ha generalizado a conjuntos abiertos más generales. [ 2 ] El artículo divulgativo de Epstein (1981) proporciona una buena explicación de esta teoría con demostraciones completas; además, introduce una definición que tiene sentido en cualquier conjunto abierto y dimensión. [ 2 ] Milnor (2006) ofrece una introducción accesible a los extremos primos en el contexto de sistemas dinámicos complejos.
Definición formal
El conjunto de extremos primos del dominio B es el conjunto de clases de equivalencia de cadenas de arcos que convergen en un punto en el límite de B.
De esta forma, un punto en el límite puede corresponder a muchos puntos en los extremos primos de B , y viceversa, muchos puntos en el límite pueden corresponder a un punto en los extremos primos de B. [ 3 ]
Aplicaciones
El teorema principal de Carathéodory sobre la correspondencia entre fronteras bajo transformaciones conformes puede expresarse de la siguiente manera:
Si ƒ mapea el disco unitario de manera conforme y biyectiva sobre el dominio B , induce un mapeo biyectivo entre los puntos del círculo unitario y los extremos primos de B.
Notas
- ↑ ( Epstein 1981 , p. 385) .
- 1 2 ( Epstein 1981 , §2) .
- ↑ En las referencias citadas se ofrece una definición más precisa y formal de los conceptos de "cadenas de arcos" y de sus clases de equivalencia.
Referencias
Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Prime ends ", que está bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License pero no bajo la GFDL .
- Epstein, DBA (3 de mayo de 1981), "Prime Ends", Proceedings of the London Mathematical Society , s3–42 (3), Oxford: Oxford University Press : 385–414 , doi : 10.1112/plms/s3-42.3.385 , MR 0614728 , Zbl 0491.30027 .
- Milnor, John (2006) [1999], Dinámica en una variable compleja , Annals of Mathematics Studies, vol. 160 (3.ª ed.), Princeton, NJ: Princeton University Press , pp. viii+304, doi : 10.1515/9781400835539 , ISBN 0-691-12488-4, MR 2193309 , Zbl 1281.37001 , ISBN 978-0-691-12488-9,
- "Elementos límite" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Compactificación (matemáticas)
- Topología básica