Medición previa

En matemáticas , una premedida es una función de conjunto que, en cierto sentido, es precursora de una medida propiamente dicha en un espacio dado. De hecho, uno de los teoremas fundamentales de la teoría de la medida establece que una premedida puede extenderse a una medida.

Dejar${\displaystyle R}$sea ​​un anillo de subconjuntos (cerrado bajo la unión y el complemento relativo ) de un conjunto fijo.${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle \mu _{0}:R\to [0,\infty ]}$ser una función de conjunto .${\displaystyle \mu _{0}}$se denomina medida previa si $${\displaystyle \mu _{0}(\varnothing )=0}$$ y, para cada secuencia numerable (o finita)${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in R}$de conjuntos disjuntos por pares cuya unión reside en${\displaystyle R,}$$${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n}).}$$ La segunda propiedad se llama${\displaystyle \sigma }$-aditividad .

Por lo tanto, lo que falta para que una premedida sea una medida es que no necesariamente esté definida en un álgebra sigma (o un anillo sigma ).

Resulta que las premedidas dan lugar de forma bastante natural a medidas externas , que se definen para todos los subconjuntos del espacio.${\displaystyle X.}$ Más precisamente, si${\displaystyle \mu _{0}}$es una medida previa definida en un anillo de subconjuntos${\displaystyle R}$del espacio${\displaystyle X,}$luego la función de conjunto${\displaystyle \mu ^{*}}$definido por $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\right|A_{i}\in R,S\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}}$$ es una medida externa en${\displaystyle X}$y la medida${\displaystyle \mu }$inducido por${\displaystyle \mu ^{*}}$en el${\displaystyle \sigma }$-álgebra${\displaystyle \Sigma }$de conjuntos medibles por Carathéodory satisface${\displaystyle \mu (A)=\mu _ {0}(A)}$para${\displaystyle A\in R}$(En particular,${\displaystyle \Sigma }$incluye${\displaystyle R}$). El ínfimo del conjunto vacío se toma como${\displaystyle +\infty .}$

(Tenga en cuenta que existe cierta variación en la terminología utilizada en la literatura. Por ejemplo, Rogers (1998) utiliza "medida" y "premedida", mientras que este artículo utiliza los términos "medida externa" y "función de conjunto", respectivamente. Las medidas externas no son, en general, medidas, ya que pueden no ser${\displaystyle \sigma }$-aditivo.)

• Teorema de Hahn-Kolmogorov : Teorema que extiende las premedidas a medidas. Páginas que muestran breves descripciones de los destinos de redireccionamiento. 

• Munroe, ME (1953). Introducción a la medida y la integración . Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. pág.  310.MR 0053186 
• Rogers, CA (1998). Medidas de Hausdorff . Cambridge Mathematical Library (Tercera  ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pág.  195. ISBN 0-521-62491-6.MR 1692618 (Véase la sección 1.2.) 
• Folland, GB (1999). Análisis real . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. pp. 30-31 . ISBN  0-471-31716-0.