Gradiente potencial

La definición más simple para un gradiente potencial F en una dimensión es la siguiente: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F={\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\,\!}$

donde ϕ ( x ) es algún tipo de potencial escalar y x es el desplazamiento (no la distancia ) en la dirección x , los subíndices etiquetan dos posiciones diferentes x ₁ , x ₂ , y potenciales en esos puntos, ϕ ₁ = ϕ ( x ₁ ), ϕ ₂ = ϕ ( x ₂ ) . En el límite de desplazamientos infinitesimales , la razón de diferencias se convierte en una razón de diferenciales :

${\displaystyle F={\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}x}}.\,\!}$

La dirección del gradiente de potencial eléctrico es desde${\displaystyle x_{1}}$a${\displaystyle x_{2}}$.

En tres dimensiones , las coordenadas cartesianas dejan claro que el gradiente de potencial resultante es la suma de los gradientes de potencial en cada dirección:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\,\!}$

donde e _x , e _y , e _z son vectores unitarios en las direcciones x, y, z . Esto se puede escribir de forma compacta en términos del operador gradiente ∇ ,

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \phi \,\!}$

aunque esta forma final se mantiene en cualquier sistema de coordenadas curvilíneas , no solo en el cartesiano.

Esta expresión representa una característica significativa de cualquier campo vectorial conservativo F , a saber, F tiene un potencial correspondiente ϕ . ^{[ 2 ]}

Utilizando el teorema de Stokes , esto se expresa de forma equivalente como:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\,\!}$

lo que significa que el rotacional , denotado por ∇×, del campo vectorial se anula.

La fuerza${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$está directamente relacionado con el gradiente de la energía potencial${\displaystyle U\,\!}$vía: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla U\,\!}$

En el caso del campo gravitatorio g , que se puede demostrar que es conservativo, ^{[ 4 ]} es igual al gradiente del potencial gravitatorio Φ :

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \Phi \,\!}$

Existe una relación de signos opuestos entre el campo gravitatorio y el potencial, ya que el gradiente de potencial y el campo tienen direcciones opuestas: a medida que aumenta el potencial, disminuye la intensidad del campo gravitatorio y viceversa.

En electrostática , el campo eléctrico E es independiente del tiempo t , por lo que no hay inducción de un campo magnético B dependiente del tiempo según la ley de inducción de Faraday :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\boldsymbol {0}}\,,}$

lo que implica que E es el gradiente del potencial eléctrico V , idéntico al campo gravitatorio clásico: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V.\,\!}$

En electrodinámica , el campo E depende del tiempo e induce también un campo B dependiente del tiempo (nuevamente por la ley de Faraday), por lo que el rotacional de E no es cero como antes, lo que implica que el campo eléctrico ya no es el gradiente del potencial eléctrico. Se debe agregar un término dependiente del tiempo: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$

donde A es el potencial vectorial electromagnético . Esta última expresión de potencial, de hecho, reduce la ley de Faraday a una identidad.

En mecánica de fluidos , el campo de velocidad v describe el movimiento del fluido. Un flujo irrotacional significa que el campo de velocidad es conservativo, o equivalentemente, que el campo pseudovectorial de vorticidad ω es cero:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}.}$

Esto permite definir el potencial de velocidad simplemente como:

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \phi }$