teoría de conjuntos positivos

${\displaystyle \forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\to x=y)}$

${\displaystyle \exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow \phi (y))}$

dónde${\displaystyle \phi }$es una fórmula positiva . Una fórmula positiva utiliza solo constantes lógicas.${\displaystyle \{\top ,\bot ,\land ,\lor ,\forall ,\exists ,=,\in \}}$pero no${\displaystyle \{\to ,\neg \}}$.

${\displaystyle \exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow \forall z(\forall w(\phi (w)\rightarrow w\in z)\rightarrow y\in z))}$

dónde${\displaystyle \phi }$es una fórmula. Es decir, para cada fórmula${\displaystyle \phi }$, la intersección de todos los conjuntos que contienen cada${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle \phi (x)}$existe. Esto se llama el cierre de${\displaystyle \{x\mid \phi (x)\}}$y se escribe de cualquiera de las diversas maneras en que se pueden presentar los cierres topológicos. Esto se puede expresar de forma más breve si se permite el lenguaje de clases (cualquier condición sobre conjuntos que defina una clase, como en NBG ): para cualquier clase C existe un conjunto que es la intersección de todos los conjuntos que contienen a C como subclase. Este es un principio razonable si los conjuntos se entienden como clases cerradas en una topología.

El ordinal de von Neumann${\displaystyle \omega }$existe. Este no es un axioma de infinito en el sentido habitual; si el infinito no se cumple, el cierre de${\displaystyle \omega }$existe y se tiene a sí mismo como su único miembro adicional (es ciertamente infinito); el punto de este axioma es que${\displaystyle \omega }$no contiene ningún elemento adicional, lo que eleva la teoría desde la fuerza de la aritmética de segundo orden hasta la fuerza de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley con el ordinal de clase apropiado un cardinal débilmente compacto .