Conjunto poroso

En matemáticas , un conjunto poroso es un concepto que se utiliza en el estudio de los espacios métricos . Al igual que los conceptos de conjuntos magros y de medida cero , un conjunto poroso puede considerarse "disperso" o "falto de volumen"; sin embargo, los conjuntos porosos no son equivalentes ni a los conjuntos magros ni a los conjuntos de medida cero, como se muestra a continuación.

Sea ( X ,  d ) un espacio métrico completo y sea E un subconjunto de X . Sea B ( x ,  r ) la bola cerrada en ( X ,  d ) con centro x  ∈  X y radio r  > 0. Se dice que E es porosa si existen constantes 0 <  α  < 1 y r ₀  > 0 tales que, para cada 0 <  r  ≤  r ₀ y cada x  ∈  X , existe algún punto y  ∈  X con

${\displaystyle B(y,\alpha r)\subseteq B(x,r)\setminus E.}$

Un subconjunto de X se denomina σ -poroso si es una unión contable de subconjuntos porosos de X.

• Ningún conjunto poroso es denso en ningún caso . Por lo tanto, todos los conjuntos σ -porosos son conjuntos magros (o de la primera categoría ).
• Si X es un espacio euclidiano de dimensión finita R ⁿ , entonces los subconjuntos porosos son conjuntos de medida de Lebesgue cero .
• Sin embargo, existe un subconjunto no σ -poroso P de R ⁿ que es de primera categoría y de medida de Lebesgue cero. Esto se conoce como teorema de Zajíček .
• La relación entre la porosidad y la no densidad en ninguna parte se puede ilustrar de la siguiente manera: si E no es denso en ninguna parte, entonces para x  ∈  X y r  > 0, hay un punto y  ∈  X y s  > 0 tal que

${\displaystyle B(y,s)\subseteq B(x,r)\setminus E.}$

Sin embargo, si E también es poroso, entonces es posible tomar s  =  αr (al menos para un r suficientemente pequeño ) , donde 0 <  α  < 1 es una constante que depende sólo de E.

• Reich, Simeon; Zaslavski, Alexander J. (2002). "Dos resultados de convergencia para métodos de descenso continuo". Revista electrónica de ecuaciones diferenciales . 2002 (24): 1–11. ISSN  1072-6691.
• Zajíček, L. (1987–1988). "Porosidad y σ -porosidad". Anal real. Intercambio . 13 (2): 314–350. doi :10.2307/44151885. ISSN  0147-1937. JSTOR  44151885. Señor 943561