espacio reflexivo polinomial

En matemáticas , un espacio polinomialmente reflexivo es un espacio de Banach X , en el cual el espacio de todos los polinomios de cada grado es un espacio reflexivo .

Dado un funcional multilineal M _n de grado n (es decir, M _n es n -lineal), podemos definir un polinomio p como

${\displaystyle p(x)=M_{n}(x,\dots ,x)}$

(es decir, aplicando M _n en la diagonal ) o cualquier suma finita de estos. Si solo hay funcionales n -lineales en la suma, se dice que el polinomio es n- homogéneo.

Definimos el espacio P _n como el conjunto formado por todos los polinomios n -homogéneos.

El espacio P ₁ es idéntico al espacio dual y, por lo tanto, es reflexivo para todo X reflexivo . Esto implica que la reflexividad es un requisito previo para la reflexividad polinomial.

En un espacio lineal de dimensión finita, una forma cuadrática x ↦ f ( x ) es siempre una combinación lineal (finita) de productos x ↦ g ( x ) h ( x ) de dos funcionales lineales g y h . Por lo tanto, suponiendo que los escalares son números complejos, toda secuencia x _n que satisface g ( x _n ) → 0 para todos los funcionales lineales g , satisface también f ( x _n ) → 0 para todas las formas cuadráticas f .

En dimensión infinita la situación es diferente. Por ejemplo, en un espacio de Hilbert , una sucesión ortonormal x _n satisface g ( x _n ) → 0 para todos los funcionales lineales g , y sin embargo f ( x _n ) = 1 donde f es la forma cuadrática f ( x ) = || x || ² . En términos más técnicos, esta forma cuadrática no es débilmente secuencialmente continua en el origen.

En un espacio de Banach reflexivo con la propiedad de aproximación , las dos condiciones siguientes son equivalentes: ^{[ 1 ]}

• Toda forma cuadrática es débilmente secuencialmente continua en el origen;
• El espacio de Banach de todas las formas cuadráticas es reflexivo.

Las formas cuadráticas son polinomios 2-homogéneos. La equivalencia mencionada anteriormente también se cumple para polinomios n -homogéneos, n =3,4,...

Para el${\displaystyle \ell ^{p}}$espacios , el P _n es reflexivo si y solo si n < p . Por lo tanto, no${\displaystyle \ell ^{p}}$es polinomialmente reflexivo. (${\displaystyle \ell ^{\infty }}$(Se descarta porque no es reflexivo).

Por lo tanto, si un espacio de Banach admite${\displaystyle \ell ^{p}}$Como espacio cociente , no es polinomialmente reflexivo. Esto hace que los espacios polinomialmente reflexivos sean poco comunes.

El espacio de Tsirelson T * es polinomialmente reflexivo. ^{[ 2 ]}

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