Refrigeración por gradiente de polarización

En la configuración lin⊥lin, el enfriamiento se logra mediante un efecto Sísifo. Consideremos dos ondas electromagnéticas planas que se propagan en direcciones opuestas, con igual amplitud y polarizaciones lineales ortogonales.${\displaystyle {\vec {E_{1}}}=E_{0}e^{ikz}{\hat {x}}}$y${\displaystyle {\vec {E_{2}}}=E_{0}e^{-ikz}{\hat {y}}}$donde k es el número de onda${\displaystyle k=\textstyle {\frac {2\pi }{\lambda }}}$. La superposición de${\displaystyle {\vec {E_{1}}}}$y${\displaystyle {\vec {E_{2}}}}$se da como:

${\displaystyle {\vec {E}}_{tot}={\frac {E_{0}}{\sqrt {2}}}\left(\cos(kz){\frac {{\hat {x}}+{\hat {y}}}{\sqrt {2}}}-i\sin(kz){\frac {-{\hat {x}}+{\hat {y}}}{\sqrt {2}}}\right)}$

Presentamos un nuevo par de coordenadas.${\displaystyle {\hat {x}}'=\textstyle {\frac {{\hat {x}}+{\hat {y}}}{\sqrt {2}}}}$y${\displaystyle {\hat {y}}'=\textstyle {\frac {-{\hat {x}}+{\hat {y}}}{\sqrt {2}}}}$El campo se puede escribir como:

${\displaystyle {\vec {E}}_{tot}={\frac {E_{0}}{\sqrt {2}}}\left(\cos(kz){\hat {x}}'-i\sin(kz){\hat {y}}'\right)}$

La polarización del campo total cambia con z. Por ejemplo: vemos que en${\displaystyle z=0}$El campo está polarizado linealmente a lo largo de${\displaystyle {\hat {x}}'}$, en${\displaystyle z=\textstyle {\frac {\lambda }{8}}}$el campo tiene polarización circular izquierda, en${\displaystyle z=\textstyle {\frac {\lambda }{4}}}$El campo está polarizado linealmente a lo largo de${\displaystyle {\hat {y}}'}$, en${\displaystyle z=\textstyle {\frac {3\lambda }{8}}}$el campo tiene polarización circular derecha y en${\displaystyle z=\textstyle {\frac {\lambda }{2}}}$El campo vuelve a estar polarizado linealmente a lo largo de${\displaystyle {\hat {x}}'}$.

Consideremos un átomo que interactúa con un campo desintonizado por debajo de la transición de estados atómicos.${\displaystyle F_{g}=\textstyle {\frac {1}{2}}}$y${\displaystyle F_{e}=\textstyle {\frac {3}{2}}}$(${\displaystyle \hbar {}\omega {}_{campo}<E_{eg}}$). La variación de la polarización a lo largo de z resulta en una variación en los desplazamientos de luz de los subniveles atómicos de Zeeman con z. El coeficiente de Clebsch-Gordan que conecta el${\displaystyle |g,m_{F}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$estado al${\displaystyle |e,m_{F}=-\textstyle {\frac {3}{2}}\rangle }$El estado es 3 veces más grande que la conexión del${\displaystyle |g,m_{F}=\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$estado al${\displaystyle |e,m_{F}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$estado. Por lo tanto para${\displaystyle \sigma ^{-}}$polarización el desplazamiento de la luz es tres veces mayor para la${\displaystyle |g,m_{F}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$estado que para el${\displaystyle |e,m_{F}=\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$estado. La situación se invierte para${\displaystyle \sigma ^{+}}$polarización, siendo el desplazamiento de la luz tres veces mayor para la${\displaystyle |g,m_{F}=\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$estado que el${\displaystyle |e,m_{F}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\rangle }$estado. Cuando la polarización es lineal, no hay diferencia en los desplazamientos de luz entre los dos estados. Por lo tanto, las energías de los estados oscilarán en z con un período${\displaystyle \textstyle {\frac {\lambda }{2}}}$.

A medida que un átomo se mueve a lo largo del eje z, será bombeado ópticamente al estado con el mayor desplazamiento de luz negativo. Sin embargo, el proceso de bombeo óptico requiere un tiempo finito.${\displaystyle \tau }$. Para el número de onda del campo k y la velocidad atómica v tales que${\displaystyle kv\approx \tau {}^{-1}}$El átomo se desplazará principalmente cuesta arriba a lo largo del eje z antes de ser impulsado de nuevo hacia su estado más bajo. En este rango de velocidad, el átomo se desplaza más cuesta arriba que cuesta abajo y pierde gradualmente energía cinética, disminuyendo su temperatura. Esto se conoce como el efecto Sísifo, en referencia al personaje mitológico griego. Cabe destacar que esta condición inicial de velocidad requiere que el átomo ya esté enfriado, por ejemplo, mediante enfriamiento Doppler.

Representando el campo eléctrico total como${\displaystyle {\vec {E}}(z,t)=E^{+}(z)e^{-i\omega _ {L}t}+cc}$, podemos argumentar que el componente de frecuencia positiva se expresa como${\displaystyle {\vec {E}}^{+}(z)={\vec {\epsilon }}E_{0}e^{ikz}+{\vec {\epsilon }}'E_{0}'e^{-ikz}}$, dónde${\displaystyle {\vec {\epsilon }}}$y${\displaystyle {\vec {\epsilon }}}$son vectores de polarización a lo largo de algunos ejes. En este caso, consideramos el sistema de coordenadas cartesianas por familiaridad. Luego, consideramos el caso en el que tenemos dos polarizaciones circulares opuestas , o:

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\epsilon _{x}+i\epsilon _{y})}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}'={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\epsilon _{x}-i\epsilon _{y})}$

Dónde${\displaystyle {\epsilon }_{x}}$y${\displaystyle {\epsilon }_{y}}$son las amplitudes de los vectores de polarización a través de los ejes x e y , respectivamente. Sustituyendo en nuestra expresión del campo eléctrico de frecuencia positiva, observamos:

${\displaystyle {\vec {E}}^{+}(z)=\epsilon _{1}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(E_{0}'-E_{0})-\epsilon _{2}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(E_{0}'+E_{0})}$

Donde utilizamos la identidad de Euler para simplificar los vectores de polarización.${\displaystyle {\vec {\epsilon }}}$y${\displaystyle {\vec {\epsilon }}}$' en las siguientes formas:

${\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{x}\cos {(kz)}-\epsilon _{y}\sin(kz)}$

${\displaystyle \epsilon _{2}=\epsilon _{x}\sin {(kz)}+\epsilon _{y}\cos(kz)}$

Esto da como resultado un campo eléctrico total con polarización elíptica . De la polarización elíptica se deduce que, cuando un vector se desplaza a lo largo del eje de propagación, los ejes de la elipse giran en consecuencia un ángulo -kz. Esto preserva la polarización elíptica del campo eléctrico total independientemente de la posición a lo largo del eje de propagación.

Como resultado, no hay efecto Sísifo. La polarización rotatoria conduce en cambio a desequilibrios de población inducidos por el movimiento en los niveles de Zeeman que causan desequilibrios en la presión de radiación que conducen a una amortiguación del movimiento atómico. Estos desequilibrios de población solo están presentes para estados con${\displaystyle F=1}$o superior.

Consideremos dos ondas electromagnéticas desintonizadas respecto a una transición atómica.${\displaystyle F_{g}=1\rightarrow F_{e}=2}$con amplitudes iguales. Ahora, consideremos un átomo que se mueve a lo largo del eje z con cierta velocidad v . El átomo ve la polarización girando con una frecuencia de${\displaystyle kv}$En el sistema de referencia giratorio, la polarización es fija; sin embargo, existe un campo inercial debido a la rotación del sistema. Este término inercial aparece en el hamiltoniano de la siguiente manera.

${\displaystyle {\hat {H}}_{rot}=kvF_{z}}$

Aquí vemos que el término inercial se parece a un campo magnético a lo largo de${\displaystyle {\hat {z}}}$con una amplitud tal que la frecuencia de precesión de Larmor sea igual a la frecuencia de rotación en el sistema de referencia del laboratorio. Para valores pequeños de v , este término en el hamiltoniano puede tratarse utilizando la teoría de perturbaciones .

Elegir la polarización en el marco giratorio que se va a fijar a lo largo${\displaystyle {\hat {y}}}$, los autoestados atómicos no perturbados son los autoestados de${\displaystyle {\hat {F}}_{y}}$El término rotacional en el hamiltoniano provoca perturbaciones en los autoestados atómicos, de modo que los subniveles de Zeeman se contaminan entre sí. Para${\displaystyle F_{g}=1}$el${\displaystyle |g,m_{f}=0\rangle _{y}}$¿La luz se desplaza más que la${\displaystyle |g,m_{f}=\pm {1}\rangle _{y}}$estados. Por lo tanto, la población en estado estacionario de la${\displaystyle |g,m_{f}=0\rangle _{y}}$es más alta que la de los otros estados. Las poblaciones son iguales para el${\displaystyle |g,m_{f}=\pm {1}\rangle _{y}}$estados. Por lo tanto, los estados están equilibrados con${\displaystyle \langle {\hat {F}}_{y}\rangle =0}$Sin embargo, cuando cambiamos de base, vemos que las poblaciones no están equilibradas en la base z y hay un valor distinto de cero de${\displaystyle \langle {\hat {F}}_{z}\rangle }$proporcional a la velocidad del átomo: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \langle {\hat {F}}_{z}\rangle ={\frac {40\hbar {}kv}{17\Delta _{0}^{'}}}}$

Dónde${\displaystyle \Delta _{0}^{'}}$es el cambio de luz para el${\displaystyle m_{F}=0}$estado. Existe un desequilibrio de población inducido por el movimiento en los subniveles de Zeeman en la base z. Para luz roja desintonizada,${\displaystyle \Delta _{0}^{'}}$es negativo y, por lo tanto, habrá una mayor población en el${\displaystyle |g,m_{f}=-1\rangle }$estado cuando el átomo se mueve hacia la derecha (velocidad positiva) y una mayor población en el${\displaystyle |g,m_{f}=1\rangle }$estado cuando el átomo se mueve hacia la izquierda (velocidad negativa). A partir de los coeficientes de Clebsch-Gordan , vemos que el${\displaystyle |g,m_{f}=-1\rangle }$El estado tiene seis veces mayor probabilidad de absorber un${\displaystyle \sigma ^{-}}$fotón moviéndose hacia la izquierda que un${\displaystyle \sigma ^{+}}$fotón moviéndose hacia la derecha. Lo contrario es cierto para el${\displaystyle |g,m_{f}=1\rangle }$estado. Cuando el átomo se mueve hacia la derecha, es más probable que absorba un fotón que se mueve hacia la izquierda, y de igual manera, cuando el átomo se mueve hacia la izquierda, es más probable que absorba un fotón que se mueve hacia la derecha. Por lo tanto, existe una presión de radiación desequilibrada cuando el átomo se mueve, lo que amortigua su movimiento, disminuyendo su velocidad y, por consiguiente, su temperatura, según la teoría cinética .

Nótese la similitud con el enfriamiento Doppler en las presiones de radiación desequilibradas debido al movimiento atómico. La presión desequilibrada en el enfriamiento PG no se debe a un desplazamiento Doppler, sino a un desequilibrio de población inducido. El enfriamiento Doppler depende del parámetro${\displaystyle \textstyle {\frac {kv}{\Gamma }}}$dónde${\displaystyle \Gamma }$es la tasa de dispersión, mientras que el enfriamiento PG depende de${\displaystyle \textstyle {\frac {kv}{\Delta _{0}^{'}}}}$. A baja intensidad,${\displaystyle \Delta _{0}^{'}\ll \Gamma }$, lo que indica que el enfriamiento PG funciona a velocidades atómicas y temperaturas más bajas que el enfriamiento Doppler.

Ambos métodos de enfriamiento PG superan el límite Doppler y, en cambio, están limitados por el límite de retroceso de un fotón:

${\displaystyle kT_{\mathrm {recoil} }={\frac {\hbar {}^{2}k^{2}}{2M}}}$

Donde M es la masa atómica.

Para una desafinación dada${\displaystyle \delta }$y frecuencia de Rabi${\displaystyle \Omega }$, dependiendo de la intensidad de la luz, ambas configuraciones muestran una escala similar a baja intensidad (${\displaystyle \Omega \ll |\delta |}$) y gran desintonización (${\displaystyle \delta \gg \Gamma }$):

${\displaystyle kT=\alpha {}{\frac {\hbar {}\Omega ^{2}}{|\delta |}}}$

Dónde${\displaystyle \alpha }$es una constante adimensional que depende de la configuración y de la especie atómica. Véase la referencia ^{[ 8 ]} para una derivación completa de estos resultados.

Por lo tanto, para reducir la temperatura, se recomienda tener la frecuencia Rabi.${\displaystyle \Omega }$ser sustancialmente mayor que la desafinación${\displaystyle \delta }$(es decir, la desafinación debe minimizarse).