Teorema de factorización polar

En la dimensión 1, y cuando${\displaystyle \mu }$es la medida de Lebesgue sobre el intervalo unitario, el resultado se especializa en el teorema de Ryff. ^{[ 5 ]} Cuando${\displaystyle d=1}$y${\displaystyle \mu }$es la distribución uniforme sobre${\displaystyle \left[0,1\right]}$, la descomposición polar se reduce a

${\displaystyle \xi \left(t\right)=F_{X}^{-1}\left(\sigma \left(t\right)\right)}$

dónde${\displaystyle F_{X}}$es la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria${\displaystyle \xi \left(U\right)}$y${\displaystyle U}$tiene una distribución uniforme sobre${\displaystyle \left[0,1\right]}$.${\displaystyle F_{X}}$se supone que es continuo, y${\displaystyle \sigma \left(t\right)=F_{X}\left(\xi \left(t\right)\right)}$conserva la medida de Lebesgue sobre${\displaystyle \left[0,1\right]}$.

Cuando${\displaystyle \xi }$es un mapa lineal y${\displaystyle \mu }$es la distribución normal gaussiana , el resultado coincide con la descomposición polar de matrices . Suponiendo${\displaystyle \xi \left(x\right)=Mx}$dónde${\displaystyle M}$es un invertible${\displaystyle d\times d}$matriz y considerando${\displaystyle \mu }$el${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(0,I_{d}\right)}$medida de probabilidad, la descomposición polar se reduce a

${\displaystyle M=SO}$

dónde${\displaystyle S}$es una matriz simétrica definida positiva , y${\displaystyle O}$una matriz ortogonal . La conexión con la factorización polar es${\displaystyle \varphi \left(x\right)=x^{\top }Sx/2}$que es convexa, y${\displaystyle \sigma \left(x\right)=Ox}$que conserva el${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(0,I_{d}\right)}$medida.

Los resultados también permiten recuperar la descomposición de Helmholtz . Dejando${\displaystyle x\rightarrow V\left(x\right)}$Si es un campo vectorial suave, entonces se puede escribir de una manera única como

${\displaystyle V=w+\nabla p}$

dónde${\displaystyle p}$es una función real suave definida en${\displaystyle \Omega }$, único salvo una constante aditiva, y${\displaystyle w}$es un campo vectorial suave sin divergencia, paralelo al límite de${\displaystyle \Omega }$.

La conexión se puede ver asumiendo${\displaystyle \mu }$es la medida de Lebesgue en un conjunto compacto${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$y escribiendo${\displaystyle \xi }$como una perturbación del mapa identidad

${\displaystyle \xi _{\epsilon }(x)=x+\epsilon V(x)}$

dónde${\displaystyle \epsilon }$es pequeño. La descomposición polar de${\displaystyle \xi _{\epsilon }}$es dado por${\displaystyle \xi _{\epsilon }=(\nabla \varphi _{\epsilon })\circ \sigma _{\epsilon }}$. Luego, para cualquier función de prueba${\displaystyle f:R^{n}\rightarrow R}$Se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x+\epsilon V(x))dx=\int _{\Omega }f((\nabla \varphi _{\epsilon })\circ \sigma _{\epsilon }\left(x\right))dx=\int _{\Omega }f(\nabla \varphi _{\epsilon }\left(x\right))dx}$

donde el hecho de que${\displaystyle \sigma _{\epsilon }}$Se estaba conservando la medida de Lebesgue que se utilizó en la segunda igualdad.

De hecho, como${\displaystyle \textstyle \varphi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\Vert x\Vert ^{2}}$, uno puede expandir${\displaystyle \textstyle \varphi _{\epsilon }(x)={\frac {1}{2}}\Vert x\Vert ^{2}+\epsilon p(x)+O(\epsilon ^{2})}$y por lo tanto${\displaystyle \textstyle \nabla \varphi _{\epsilon }\left(x\right)=x+\epsilon \nabla p(x)+O(\epsilon ^{2})}$. Como resultado,${\displaystyle \textstyle \int _{\Omega }\left(V(x)-\nabla p(x)\right)\nabla f(x))dx}$para cualquier funcionamiento suave${\displaystyle f}$, lo que implica que${\displaystyle w\left(x\right)=V(x)-\nabla p(x)}$es libre de divergencia. ^{[ 1 ] [ 6 ]}