Teoría de placas

En mecánica de medios continuos , las teorías de placas son descripciones matemáticas de la mecánica de placas planas que se basan en la teoría de vigas . Las placas se definen como elementos estructurales planos con un espesor pequeño en comparación con las dimensiones planas. ^[1] La relación típica entre espesor y ancho de una estructura de placa es menor que 0,1. ^{[ cita requerida ]} Una teoría de placas aprovecha esta disparidad en la escala de longitud para reducir el problema completo de mecánica de sólidos tridimensional a un problema bidimensional. El objetivo de la teoría de placas es calcular la deformación y las tensiones en una placa sometida a cargas .

De las numerosas teorías de placas que se han desarrollado desde finales del siglo XIX, dos son ampliamente aceptadas y utilizadas en ingeniería. Estas son:

• La teoría de placas de Kirchhoff - Love (teoría clásica de placas)
• La teoría de placas de Uflyand-Mindlin (teoría de placas de corte de primer orden)

La teoría de Kirchhoff - Love es una extensión de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli a las placas delgadas. La teoría fue desarrollada en 1888 por Love ^[2] utilizando los supuestos propuestos por Kirchhoff. Se supone que se puede utilizar un plano de superficie media para representar la placa tridimensional en forma bidimensional.

En esta teoría se hacen los siguientes supuestos cinemáticos: ^[3]

• Las líneas rectas normales a la superficie media permanecen rectas después de la deformación.
• Las líneas rectas normales a la superficie media permanecen normales a la superficie media después de la deformación.
• El espesor de la placa no cambia durante una deformación.

La hipótesis de Kirchhoff implica que el campo de desplazamiento tiene la forma

donde y son las coordenadas cartesianas en la superficie media de la placa no deformada, es la coordenada para la dirección del espesor, son los desplazamientos en el plano de la superficie media y es el desplazamiento de la superficie media en la dirección. ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle u_{1}^{0},u_{2}^{0}}$${\displaystyle w^{0}}$${\displaystyle x_{3}}$

Si son los ángulos de rotación de la normal a la superficie media, entonces en la teoría de Kirchhoff-Love ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$${\displaystyle \varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}\,.}$

Para la situación en la que las deformaciones en la placa son infinitesimales y las rotaciones de las normales de la superficie media son menores a 10°, las relaciones de deformaciones-desplazamiento son

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Por lo tanto, las únicas deformaciones distintas de cero están en las direcciones en el plano.

Si las rotaciones de las normales a la superficie media están en el rango de 10° a 15°, las relaciones de deformación-desplazamiento pueden aproximarse utilizando las deformaciones de von Kármán . Entonces, los supuestos cinemáticos de la teoría de Kirchhoff-Love conducen a las siguientes relaciones de deformación-desplazamiento

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Esta teoría es no lineal debido a los términos cuadráticos en las relaciones deformación-desplazamiento.

Las ecuaciones de equilibrio para la placa se pueden derivar del principio del trabajo virtual . Para la situación en la que las deformaciones y rotaciones de la placa son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio para una placa sin carga se dan por

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

donde las resultantes de tensión y las resultantes de momento de tensión se definen como

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

y el espesor de la placa es . Las cantidades son las tensiones. ${\displaystyle 2h}$${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$

Si la placa está cargada por una carga distribuida externa que es normal a la superficie media y está dirigida en la dirección positiva, el principio del trabajo virtual conduce entonces a las ecuaciones de equilibrio. ${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle x_{3}}$

Para rotaciones moderadas, las relaciones de deformación-desplazamiento toman la forma de von Karman y las ecuaciones de equilibrio se pueden expresar como

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}}$

Las condiciones de contorno que se necesitan para resolver las ecuaciones de equilibrio de la teoría de placas se pueden obtener a partir de los términos de contorno del principio del trabajo virtual.

Para pequeñas deformaciones y pequeñas rotaciones, las condiciones de contorno son

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}}$

Téngase en cuenta que la cantidad es una fuerza cortante efectiva. ${\displaystyle n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }}$

Las relaciones de tensión-deformación para una placa de Kirchhoff elástica lineal se dan por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Dado que y no aparecen en las ecuaciones de equilibrio, se supone implícitamente que estas cantidades no tienen ningún efecto sobre el equilibrio del momento y se descuidan. ${\displaystyle \sigma _{\alpha 3}}$${\displaystyle \sigma _{33}}$

Es más conveniente trabajar con las resultantes de tensión y momento que entran en las ecuaciones de equilibrio. Estas están relacionadas con los desplazamientos por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.}$

Las rigideces extensionales son las cantidades

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Las rigideces de flexión (también llamadas rigidez a la flexión ) son las cantidades

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Para una placa isótropa y homogénea, las relaciones tensión-deformación son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

Los momentos correspondientes a estas tensiones son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

Los desplazamientos y son cero en condiciones de flexión pura . Para una placa homogénea e isótropa en condiciones de flexión pura, la ecuación que la rige es ${\displaystyle u_{1}^{0}}$${\displaystyle u_{2}^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.}$

En notación de índice,

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.}$

En notación tensorial directa, la ecuación gobernante es

Para una placa cargada transversalmente sin deformaciones axiales, la ecuación gobernante tiene la forma

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}}$

dónde

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

para una placa con espesor . En notación de índice, ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}}$

y en notación directa

En coordenadas cilíndricas , la ecuación gobernante es ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Para una placa ortotrópica

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

La ecuación gobernante de una placa de Kirchhoff ortotrópica cargada transversalmente por una carga distribuida por unidad de área es ${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}}$

La teoría dinámica de placas determina la propagación de ondas en las placas, y el estudio de las ondas estacionarias y los modos de vibración.

Las ecuaciones que rigen la dinámica de una placa de Kirchhoff-Love son

donde, para una placa con densidad , ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}$

y

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

Las figuras siguientes muestran algunos modos vibracionales de una placa circular.

• 
  modo k = 0, p = 1
• 
  modo k = 1, p = 2

Las ecuaciones gobernantes se simplifican considerablemente para placas isótropas y homogéneas para las cuales las deformaciones en el plano se pueden descuidar y tienen la forma

${\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.}$

donde es la rigidez a la flexión de la placa. Para una placa uniforme de espesor , ${\displaystyle D}$${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

En notación directa

En la teoría de placas gruesas, o teoría de Yakov S. Uflyand ^[4] (ver, para más detalles, el manual de Elishakoff ^[5] ), Raymond Mindlin ^[6] y Eric Reissner , la normal a la superficie media permanece recta pero no necesariamente perpendicular a la superficie media. Si y designan los ángulos que la superficie media forma con el eje, entonces ${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle \varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}}$

Entonces la hipótesis de Mindlin-Reissner implica que

Dependiendo de la cantidad de rotación de las normales de la placa, se pueden derivar dos aproximaciones diferentes para las deformaciones a partir de los supuestos cinemáticos básicos.

Para pequeñas deformaciones y pequeñas rotaciones, las relaciones de deformación-desplazamiento para las placas Mindlin-Reissner son

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

En esta teoría no se descuida la deformación cortante y, por lo tanto, la tensión cortante a lo largo del espesor de la placa. Sin embargo, la deformación cortante es constante a lo largo del espesor de la placa. Esto no puede ser preciso, ya que se sabe que la tensión cortante es parabólica incluso para geometrías de placa simples. Para tener en cuenta la inexactitud de la deformación cortante, se aplica un factor de corrección de la deformación cortante ( ) de modo que la teoría prediga la cantidad correcta de energía interna. Entonces ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)}$

Las ecuaciones de equilibrio tienen formas ligeramente diferentes según la cantidad de flexión esperada en la placa. Para la situación en la que las deformaciones y rotaciones de la placa son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio para una placa Mindlin-Reissner son

Las fuerzas de corte resultantes en las ecuaciones anteriores se definen como

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.}$

Las condiciones de contorno están indicadas por los términos de contorno en el principio de trabajo virtual.

Si la única fuerza externa es una fuerza vertical sobre la superficie superior de la placa, las condiciones de contorno son

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}}$

Las relaciones de tensión-deformación para una placa elástica lineal de Mindlin-Reissner se dan por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}$

Dado que no aparece en las ecuaciones de equilibrio, se supone implícitamente que no tiene ningún efecto sobre el equilibrio de momento y se descuida. Esta suposición también se denomina suposición de tensión plana . Las relaciones de tensión-deformación restantes para un material ortotrópico , en forma matricial, se pueden escribir como ${\displaystyle \sigma _{33}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}}$

Para los términos de corte

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}}$

Las rigideces extensionales son las cantidades

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Las rigideces de flexión son las cantidades

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Para placas uniformemente gruesas, homogéneas e isótropas, las relaciones de tensión-deformación en el plano de la placa son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

donde es el módulo de Young, es el coeficiente de Poisson y son las deformaciones en el plano. Las tensiones y deformaciones cortantes a través del espesor están relacionadas por ${\displaystyle E}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}}$

¿Dónde está el módulo de corte ? ${\displaystyle G=E/(2(1+\nu ))}$

Las relaciones entre las resultantes de tensión y los desplazamientos generalizados para una placa isótropa de Mindlin-Reissner son:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.}$

La rigidez a la flexión se define como la cantidad

${\displaystyle D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

Para una placa de espesor , la rigidez a la flexión tiene la forma ${\displaystyle H}$

${\displaystyle D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.}$

dónde ${\displaystyle h={\frac {H}{2}}}$

Si ignoramos la extensión en el plano de la placa, las ecuaciones que rigen son

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}}$

En términos de las deformaciones generalizadas , las tres ecuaciones gobernantes son ${\displaystyle w^{0},\varphi _{1},\varphi _{2}}$

Las condiciones de contorno a lo largo de los bordes de una placa rectangular son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}}$

En general, las soluciones exactas para placas en voladizo que utilizan la teoría de placas son bastante complejas y se pueden encontrar pocas soluciones exactas en la literatura. Reissner y Stein ^[7] proporcionan una teoría simplificada para placas en voladizo que es una mejora con respecto a teorías anteriores como la teoría de placas de Saint-Venant.

La teoría de Reissner-Stein supone un campo de desplazamiento transversal de la forma

${\displaystyle w(x,y)=w_{x}(x)+y\,\theta _{x}(x)\,.}$

Las ecuaciones que rigen la placa se reducen entonces a dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas:

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

En , dado que la viga está sujeta, las condiciones de contorno son ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}$

Las condiciones de contorno en son ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

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