Análisis de la red de tuberías

En dinámica de fluidos , el análisis de redes de tuberías consiste en analizar el flujo de fluidos a través de una red hidráulica con varias ramificaciones interconectadas. El objetivo es determinar los caudales y las caídas de presión en cada sección de la red. Este es un problema común en el diseño hidráulico.

Para distribuir el agua a numerosos usuarios, las empresas de abastecimiento municipal suelen canalizarla a través de una red de distribución . Gran parte de esta red está formada por tuberías interconectadas. Esta red plantea un tipo específico de problemas en el diseño hidráulico, cuya solución se conoce como análisis de redes de tuberías . Las empresas de abastecimiento de agua suelen utilizar software especializado para resolver estos problemas automáticamente. Sin embargo, muchos de estos problemas también pueden abordarse con métodos más sencillos, como una hoja de cálculo con un solucionador o una calculadora gráfica moderna.

Una vez obtenidos los factores de fricción de las tuberías (o calculados a partir de leyes de fricción como la ecuación de Darcy-Weisbach ), podemos considerar cómo calcular los caudales y las pérdidas de carga en la red. Generalmente, se desprecian las pérdidas de carga (diferencias de potencial) en cada nodo y se busca una solución para los flujos en estado estacionario en la red, teniendo en cuenta las especificaciones de las tuberías (longitudes y diámetros), las propiedades de fricción de las tuberías y los caudales o pérdidas de carga conocidos.

Los flujos en estado estacionario en la red deben satisfacer dos condiciones:

1. En cualquier nodo, el flujo total que entra en un nodo es igual al flujo total que sale de ese nodo (ley de conservación de la masa, o ley de continuidad, o primera ley de Kirchhoff ).
2. Entre dos nodos cualesquiera, la pérdida de carga es independiente del camino seguido (ley de conservación de la energía o segunda ley de Kirchhoff). Esto equivale matemáticamente a afirmar que, en cualquier bucle cerrado de la red, la pérdida de carga alrededor del bucle debe ser nula.

Si hay suficientes caudales conocidos, de modo que el sistema de ecuaciones dado por (1) y (2) anterior sea cerrado (número de incógnitas = número de ecuaciones), entonces se puede obtener una solución determinista .

El enfoque clásico para resolver estas redes es utilizar el método de Hardy Cross . En esta formulación, primero se recorren y se crean valores de estimación para los flujos en la red. Los flujos se expresan a través de los caudales volumétricos Q. Las estimaciones iniciales para los valores de Q deben satisfacer las leyes de Kirchhoff (1). Es decir, si Q7 entra en una unión y Q6 y Q4 salen de la misma unión, entonces la estimación inicial debe satisfacer Q7 = Q6 + Q4. Después de que se hace la estimación inicial, se considera un bucle para que podamos evaluar nuestra segunda condición. Dado un nodo de inicio, recorremos el bucle en sentido horario, como se ilustra en el Bucle 1. Sumamos las pérdidas de carga según la ecuación de Darcy-Weisbach para cada tubería si Q está en la misma dirección que nuestro bucle como Q1, y restamos la pérdida de carga si el flujo está en la dirección opuesta, como Q4. En otras palabras, sumamos las pérdidas de carga alrededor del bucle en la dirección del bucle; Dependiendo de si el flujo se produce a favor o en contra del circuito, algunas tuberías tendrán pérdidas de carga y otras tendrán ganancias de carga (pérdidas negativas).

Para satisfacer la segunda ley de Kirchhoff (2), debemos obtener un valor de 0 en cada bucle en la solución de estado estacionario. Si la suma real de nuestras pérdidas de carga no es igual a 0, ajustaremos todos los flujos en el bucle mediante la siguiente fórmula, donde un ajuste positivo se realiza en sentido horario.

${\displaystyle \Delta Q=-{\frac {\sum {\scriptstyle {\text{pérdida de carga}}_{c}}-\sum {\scriptstyle {\text{pérdida de carga}}_{cc}}}{n\cdot (\sum {\frac {{\text{pérdida de carga}}_{c}}{Q_{c}}}+\sum {\frac {{\text{pérdida de carga}}_{cc}}{Q_{cc}}})}},}$

dónde

• n es 1,85 para Hazen-Williams y
• n es 2 para Darcy-Weisbach.

El especificador de sentido horario (c) significa solo los flujos que se mueven en sentido horario en nuestro bucle, mientras que el especificador de sentido antihorario (cc) es solo los flujos que se mueven en sentido antihorario.

Este ajuste no resuelve el problema, ya que la mayoría de las redes tienen varios bucles. Sin embargo, es aceptable utilizarlo, puesto que los cambios en el flujo no alterarán la condición 1 y, por lo tanto, los demás bucles seguirán satisfaciéndola. No obstante, deberíamos utilizar los resultados del primer bucle antes de pasar a los demás.

Es necesaria una adaptación de este método para tener en cuenta los depósitos de agua conectados a la red, que se unen de dos en dos mediante el uso de «pseudobucles» en el esquema de Hardy Cross. Este tema se trata con más detalle en el sitio web del método de Hardy Cross .

El método moderno consiste simplemente en crear un conjunto de condiciones a partir de las leyes de Kirchhoff mencionadas anteriormente (nodos y criterios de pérdida de carga). A continuación, se utiliza un algoritmo de búsqueda de raíces para encontrar valores de Q que satisfagan todas las ecuaciones. Las ecuaciones literales ^de pérdida por fricción utilizan un término llamado Q² , pero queremos conservar cualquier cambio de dirección. Se crea una ecuación separada para cada bucle donde se suman las pérdidas de carga, pero en lugar de elevar Q al cuadrado , se utiliza | Q |· Q (donde | Q | es el valor absoluto de Q ) para la formulación, de modo que cualquier cambio de signo se refleje adecuadamente en el cálculo de la pérdida de carga resultante.

En muchas situaciones, especialmente en redes de distribución de agua reales en ciudades (que pueden abarcar desde miles hasta millones de nodos), el número de variables conocidas (caudales y/o pérdidas de carga) necesarias para obtener una solución determinista será muy elevado. Muchas de estas variables serán desconocidas o implicarán una considerable incertidumbre en su especificación. Además, en muchas redes de tuberías, puede existir una variabilidad considerable en los caudales, que se puede describir mediante fluctuaciones en torno a los caudales medios en cada tubería. Los métodos deterministas mencionados anteriormente no pueden tener en cuenta estas incertidumbres, ya sea por falta de conocimiento o por la variabilidad del caudal.

Por estas razones, recientemente se ha desarrollado un método probabilístico para el análisis de redes de tuberías, ^{[ 1 ]} basado en el método de máxima entropía de Jaynes. ^{[ 2 ]} En este método, se define una función de entropía relativa continua sobre los parámetros desconocidos. Esta entropía se maximiza sujeta a las restricciones del sistema, incluidas las leyes de Kirchhoff, las propiedades de fricción de las tuberías y cualquier caudal medio o pérdida de carga especificada, para obtener una expresión probabilística ( función de densidad de probabilidad ) que describe el sistema. Esto se puede utilizar para calcular valores medios (expectativas) de los caudales, las pérdidas de carga o cualquier otra variable de interés en la red de tuberías. Este análisis se ha extendido utilizando una formulación entrópica de parámetros reducidos, que garantiza la consistencia del análisis independientemente de la representación gráfica de la red. ^{[ 3 ]} También se ha presentado una comparación de formulaciones probabilísticas bayesianas y de máxima entropía para el análisis de redes de flujo de tuberías , mostrando que bajo ciertas suposiciones (prior gaussianas), los dos enfoques conducen a predicciones equivalentes de los caudales medios. ^{[ 4 ]}

Otros métodos de optimización estocástica de sistemas de distribución de agua se basan en algoritmos metaheurísticos , como el recocido simulado ^{[ 5 ]} y los algoritmos genéticos . ^{[ 6 ]}

• N. Hwang, R. Houghtalen, "Fundamentos de sistemas de ingeniería hidráulica", Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ. 1996.
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• CF Colebrook, "Flujo turbulento en tuberías, con especial referencia a la región de transición entre las leyes de tuberías lisas y rugosas", Jour. Ist. Civil Engrs., Londres (febrero de 1939).
• Eusuff, Muzaffar M.; Lansey, Kevin E. (2003). "Optimización del diseño de redes de distribución de agua mediante el algoritmo de salto de rana aleatorio" . Journal of Water Resources Planning and Management . 129 (3): 210-225.