regresión de Deming

En estadística , la regresión de Deming , que recibe su nombre de W. Edwards Deming , es un modelo de errores en las variables que busca la línea de mejor ajuste para un conjunto de datos bidimensional . Se diferencia de la regresión lineal simple en que considera los errores en las observaciones tanto del eje x como del eje y . Es un caso especial de mínimos cuadrados totales , que permite cualquier número de predictores y una estructura de error más compleja.

La regresión de Deming es equivalente a la estimación de máxima verosimilitud de un modelo de errores en las variables en el que se supone que los errores de las dos variables son independientes y siguen una distribución normal , y se conoce la razón de sus varianzas, denotada por δ . ^{[ 1 ]} En la práctica, esta razón podría estimarse a partir de fuentes de datos relacionadas; sin embargo, el procedimiento de regresión no tiene en cuenta los posibles errores en la estimación de esta razón.

La regresión de Deming es solo un poco más difícil de calcular que la regresión lineal simple . La mayoría de los paquetes de software estadístico utilizados en química clínica ofrecen la regresión de Deming.

El modelo fue introducido originalmente por Adcock (1878) , quien consideró el caso δ  =  1, y luego, de forma más general, por Kummell (1879) con un δ arbitrario . Sin embargo, sus ideas pasaron prácticamente desapercibidas durante más de 50 años, hasta que fueron retomadas por Koopmans (1936) y posteriormente difundidas aún más por Deming (1943) . Este último libro se hizo tan popular en química clínica y campos afines que el método llegó a denominarse regresión de Deming en dichos campos. ^{[ 2 ]}

Supongamos que los datos disponibles ( y _i , x _i ) son observaciones medidas de los valores "verdaderos" ( y _i * , x _i * ), que se encuentran en la línea de regresión:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=y_{i}^{*}+\varepsilon _{i},\\x_{i}&=x_{i}^{*}+\eta _{i},\end{aligned}}}$

donde los errores ε y η son independientes y se supone que se conoce la razón de sus varianzas:

${\displaystyle \delta ={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}.}$

En la práctica, las variaciones de la${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Los parámetros suelen ser desconocidos, lo que complica la estimación de${\displaystyle \delta }$. Tenga en cuenta que cuando el método de medición para${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$es lo mismo, es probable que estas varianzas sean iguales, por lo tanto${\displaystyle \delta =1}$para este caso.

Buscamos encontrar la línea de "mejor ajuste".

${\displaystyle y^{*}=\beta _{0}+\beta _{1}x^{*},}$

de tal manera que se minimice la suma ponderada de los residuos al cuadrado del modelo: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle SSR=\sum _{i=1}^{n}{\bigg (}{\frac {\varepsilon _{i}^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}}}+{\frac {\eta _{i}^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\sigma _{\epsilon }^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\Big (}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i}^{*})^{2}+\delta (x_{i}-x_{i}^{*})^{2}{\Big )}\ \to \ \min _{\beta _{0},\beta _{1},x_{1}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}}SSR}$

Véase Jensen (2007) para una derivación completa.

La solución se puede expresar en términos de los momentos muestrales de segundo grado. Es decir, primero calculamos las siguientes cantidades (todas las sumas van de i  =  1 a n ):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\tfrac {1}{n}}\sum x_{i}&{\overline {y}}&={\tfrac {1}{n}}\sum y_{i},\\s_{xx}&={\tfrac {1}{n}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2}&&={\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2},\\s_{xy}&={\tfrac {1}{n}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})&&={\overline {xy}}-{\overline {x}}\,{\overline {y}},\\s_{yy}&={\tfrac {1}{n}}\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}&&={\overline {y^{2}}}-{\overline {y}}^{2}.\end{aligned}}\,}$

Finalmente, las estimaciones de mínimos cuadrados de los parámetros del modelo serán ^{[ 4 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\beta }}_{1}={\frac {s_{yy}-\delta s_{xx}+{\sqrt {(s_{yy}-\delta s_{xx})^{2}+4\delta s_{xy}^{2}}}}{2s_{xy}}},\\&{\hat {\beta }}_{0}={\overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}},\\&{\hat {x}}_{i}^{*}=x_{i}+{\frac {{\hat {\beta }}_{1}}{{\hat {\beta }}_{1}^{2}+\delta }}(y_{i}-{\hat {\beta }}_{0}-{\hat {\beta }}_{1}x_{i}).\end{aligned}}}$

Para el caso de varianzas de error iguales, es decir, cuando${\displaystyle \delta =1}$La regresión de Deming se convierte en regresión ortogonal : minimiza la suma de las distancias perpendiculares al cuadrado desde los puntos de datos a la línea de regresión . En este caso, denotamos cada observación como un punto.${\displaystyle z_{j}=x_{j}+iy_{j}}$en el plano complejo (es decir, el punto${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$dónde${\displaystyle i}$es la unidad imaginaria ). Denotemos como${\displaystyle S=\sum {(z_{j}-{\overline {z}})^{2}}}$la suma de las diferencias al cuadrado de los puntos de datos con respecto al centroide${\displaystyle {\overline {z}}={\tfrac {1}{n}}\sum z_{j}}$(también denotado en coordenadas complejas), que es el punto cuyas ubicaciones horizontales y verticales son los promedios de las de los puntos de datos. Entonces: ^{[ 5 ]}

• Si${\displaystyle S=0}$, entonces cada línea que pasa por el centroide es una línea de mejor ajuste ortogonal.
• Si${\displaystyle S\neq 0}$, la línea de regresión ortogonal pasa por el centroide y es paralela al vector desde el origen hasta${\displaystyle {\sqrt {S}}}$.

Coolidge proporcionó en 1913 una representación trigonométrica de la línea de regresión ortogonal. ^{[ 6 ]} La distancia también se puede calcular utilizando la ecuación más típica de una línea, dada como${\displaystyle y=mx+k}$.

La relación funcional de la media geométrica es un caso de la regresión de Deming donde δ = σ² _x / σ² _y . Asume que ambas variables tienen la misma fiabilidad , es decir, σ _y / σ _ε = σ _x / σ _η . La pendiente resultante es la media geométrica de la pendiente de mínimos cuadrados ordinarios y la pendiente de mínimos cuadrados inversos, lo que facilita su cálculo con las herramientas existentes. Se ha recomendado su uso en biología. ^{[ 10 ]} Este método es invariante ante escalamiento, traslación e intercambio de variables, siendo el único método que depende únicamente de los primeros y segundos momentos para poseer esta propiedad. ^{[ 11 ]}

La regresión de York extiende la regresión de Deming al permitir errores correlacionados en x e y. ^{[ 12 ]}

• Ajuste de línea
• dilución de regresión

Notas

Bibliografía

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• Coolidge, JL (1913). "Dos aplicaciones geométricas de las matemáticas de mínimos cuadrados". The American Mathematical Monthly . 20 (6): 187– 190. doi : 10.2307/2973072 . JSTOR 2973072 . 
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