Partícula en una red unidimensional

En mecánica cuántica , el problema de la partícula en una red unidimensional surge en el modelo de una red cristalina periódica . El potencial se genera por los iones en la estructura periódica del cristal, que crean un campo electromagnético , de modo que los electrones están sujetos a un potencial regular dentro de la red. Se trata de una generalización del modelo del electrón libre , que supone un potencial nulo dentro de la red.

Cuando hablamos de materiales sólidos, la discusión se centra principalmente en los cristales: redes periódicas. Aquí analizaremos una red unidimensional de iones positivos. Suponiendo que la distancia entre dos iones es a , el potencial en la red tendrá la siguiente forma:

La representación matemática del potencial es una función periódica con un período a . Según el teorema de Bloch , ^{[ 1 ]} la solución de la función de onda de la ecuación de Schrödinger cuando el potencial es periódico se puede escribir como:

$${\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x),}$$

donde u ( x ) es una función periódica que satisface u ( x + a ) = u ( x ) . Es el factor de Bloch con exponente de Floquet.${\displaystyle k}$lo que da lugar a la estructura de bandas del espectro de energía de la ecuación de Schrödinger con un potencial periódico como el potencial de Kronig-Penney o una función coseno como lo demostró Strutt en 1928. ^{[ 2 ]} Las soluciones se pueden dar con la ayuda de las funciones de Mathieu .

Al acercarse a los bordes de la red, surgen problemas con la condición de contorno. Por lo tanto, podemos representar la red iónica como un anillo siguiendo las condiciones de contorno de Born-von  Karman . Si L es la longitud de la red, de modo que L ≫ a , entonces el número de iones en la red es tan grande que, al considerar un ion, su entorno es casi lineal y la función de onda del electrón permanece inalterada. Así, en lugar de dos condiciones de contorno, obtenemos una condición de contorno circular: $${\displaystyle \psi (0)=\psi (L).}$$

Si N es el número de iones en la red, entonces tenemos la relación: aN = L. Sustituyendo en la condición de contorno y aplicando el teorema de Bloch se obtendrá una cuantización para k : $${\displaystyle \psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)}$$$${\displaystyle u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1}$$$${\displaystyle \Rightarrow kL=2\pi n\to k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\dots ,\pm {\frac {N}{2}}\right).}$$

El modelo de Kronig-Penney (llamado así por Ralph Kronig y William Penney ^{[ 3 ]} ) es un sistema cuántico-mecánico simple e idealizado que consiste en una matriz periódica infinita de barreras de potencial rectangulares .

La función potencial se aproxima mediante un potencial rectangular:

Utilizando el teorema de Bloch , solo necesitamos encontrar una solución para un solo período, asegurarnos de que sea continua y suave, y asegurarnos de que la función u ( x ) también sea continua y suave.

Considerando un único período del potencial: Tenemos dos regiones aquí. Resolveremos cada una de forma independiente: Sea E un valor de energía por encima del pozo (E>0).

• Para${\displaystyle 0<x<(ab)}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=E\psi \\\Rightarrow \psi &=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}&\left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\end{aligned}}}$$
• Para${\displaystyle -b<x<0}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=(E+V_{0})\psi \\\Rightarrow \psi &=Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}&\left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\end{aligned}}}$$

Para hallar u ( x ) en cada región, necesitamos manipular la función de onda del electrón: $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (0<x<ab)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<ab)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}}$$

Y de la misma manera: $${\displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.}$$

Para completar la solución debemos asegurarnos de que la función de probabilidad sea continua y suave, es decir: $${\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).}$$

Y que u ( x ) y u′ ( x ) son periódicas: $${\displaystyle u(-b)=u(ab)\qquad u'(-b)=u'(ab).}$$

Estas condiciones dan como resultado la siguiente matriz: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(ab)}&e^{-i(\alpha +k)(ab)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(ab)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(ab)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$$

Para que tengamos una solución no trivial, el determinante de la matriz debe ser 0. Esto nos lleva a la siguiente expresión: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (ab)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (ab)].}$$

Para simplificar aún más la expresión, realizamos las siguientes aproximaciones: $${\displaystyle b\to 0;\quad V_{0}\to \infty$$ ;\quad V_{0}b=\mathrm {constante} } $${\displaystyle \Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constante}$$ ;\quad \alpha ^{2}b\to 0} $${\displaystyle \Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.}$$

La expresión ahora será: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}.}$$

Para valores de energía dentro del pozo ( E  <  0), obtenemos: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)],}$$ con${\displaystyle \alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}}}$y${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}}$.

Siguiendo las mismas aproximaciones que arriba (${\displaystyle b\to 0;\,V_{0}\to \infty$ ;\,V_{0}b=\mathrm {constante} } ), llegamos a $${\displaystyle \cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}}$$ con la misma fórmula para P que en el caso anterior.${\displaystyle \left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)}$.

En el párrafo anterior, las únicas variables no determinadas por los parámetros del sistema físico son la energía E y el momento cristalino k . Al elegir un valor para E , se puede calcular el lado derecho y luego calcular k tomando el${\displaystyle \arccos }$de ambos lados. Por lo tanto, la expresión da lugar a la relación de dispersión .

El lado derecho de la última expresión anterior a veces puede ser mayor que 1 o menor que –1, en cuyo caso no hay ningún valor de k que pueda hacer que la ecuación sea verdadera. Dado que${\displaystyle \alpha a\propto {\sqrt {E}}}$, eso significa que hay ciertos valores de E para los cuales no hay autofunciones de la ecuación de Schrödinger. Estos valores constituyen la banda prohibida .

Por lo tanto, el modelo de Kronig-Penney es uno de los potenciales periódicos más simples que presenta una brecha de banda.

Se presenta un tratamiento alternativo ^{[ 4 ]} para un problema similar. Aquí tenemos un potencial periódico delta :$${\displaystyle V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na).}$$

A es una constante, y a es la constante de red (el espaciado entre cada sitio). Dado que este potencial es periódico, podríamos expandirlo como una serie de Fourier : $${\displaystyle V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{iKx},}$$ dónde $${\displaystyle {\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}.}$$

La función de onda, utilizando el teorema de Bloch, es igual a${\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)}$dónde${\displaystyle u_{k}(x)}$es una función que es periódica en la red, lo que significa que también podemos expandirla como una serie de Fourier: $${\displaystyle u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.}$$

Por lo tanto, la función de onda es: $${\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.}$$

Sustituyendo esto en la ecuación de Schrödinger, obtenemos: $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$$ o mejor dicho: $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$$

Ahora reconocemos que: $${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')}$$

Sustituye esto en la ecuación de Schrödinger: $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0}$$

Resolviendo esto para${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)}$obtenemos: $${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

Sumamos esta última ecuación para todos los valores de K para llegar a: $${\displaystyle \sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

O: $${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

Convenientemente,${\displaystyle u_{k}(0)}$se cancela y obtenemos: $${\displaystyle 1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$$

O: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$$

Para ahorrarnos un esfuerzo de notación innecesario, definimos una nueva variable: $${\displaystyle \alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}}$$ y finalmente nuestra expresión es: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}}$$

Ahora bien, K es un vector de retículo recíproco , lo que significa que una suma sobre K es en realidad una suma sobre múltiplos enteros de${\displaystyle {\frac {2\pi }{a}}}$: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}}$$

Podemos modificar un poco esta expresión para hacerla más sugerente (usando la descomposición en fracciones parciales ): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}}$$

Si utilizamos una identidad elegante de una suma de la función cotangente ( ecuación 18 ) que dice: $${\displaystyle \cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}}$$ y lo conectamos a nuestra expresión que obtenemos: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}$$

Usamos la suma de cot y luego el producto de sen (que forma parte de la fórmula para la suma de cot ) para llegar a: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)}$$

Esta ecuación muestra la relación entre la energía (a través de α ) y el vector de onda, k . Como se puede observar, dado que el lado izquierdo de la ecuación solo puede variar de -1 a 1 , existen límites para los valores que puede tomar α (y, por lo tanto, la energía). Es decir, en ciertos rangos de valores de la energía, no existe solución según esta ecuación, y por consiguiente, el sistema no tendrá esas energías: brechas de energía. Estas son las denominadas brechas de banda, que pueden demostrarse que existen en cualquier forma de potencial periódico (no solo barreras delta o cuadradas).

Para un cálculo diferente y detallado de la fórmula de la brecha (es decir, para la brecha entre bandas) y el desdoblamiento de niveles de los autovalores de la ecuación de Schrödinger unidimensional, véase Müller-Kirsten. ^{[ 5 ]} Los resultados correspondientes para el potencial coseno (ecuación de Mathieu) también se presentan en detalle en esta referencia.

En algunos casos, la ecuación de Schrödinger puede resolverse analíticamente en una red unidimensional de longitud finita ^{[ 6 ] [ 7 ]} utilizando la teoría de ecuaciones diferenciales periódicas. ^{[ 8 ]} Se supone que la longitud de la red es${\displaystyle L=Na}$, dónde${\displaystyle a}$es el período potencial y el número de períodos${\displaystyle N}$es un número entero positivo. Los dos extremos de la red están en${\displaystyle \tau }$y${\displaystyle L+\tau }$, dónde${\displaystyle \tau }$determina el punto de terminación. La función de onda se anula fuera del intervalo${\displaystyle [\tau ,L+\tau ]}$.

Los autoestados del sistema finito se pueden encontrar en términos de los estados de Bloch de un sistema infinito con el mismo potencial periódico. Si hay una brecha de banda entre dos bandas de energía consecutivas del sistema infinito, hay una distinción clara entre dos tipos de estados en la red finita. Para cada banda de energía del sistema infinito, hay${\displaystyle N-1}$estados de volumen cuyas energías dependen de la longitud${\displaystyle N}$pero no en la terminación${\displaystyle \tau }$Estos estados son ondas estacionarias construidas como una superposición de dos estados de Bloch con momentos .${\displaystyle k}$y${\displaystyle -k}$, dónde${\displaystyle k}$se elige de modo que la función de onda se anule en los límites. Las energías de estos estados coinciden con las bandas de energía del sistema infinito. ^{[ 6 ]}

Para cada banda prohibida, existe un estado adicional. Las energías de estos estados dependen del punto de terminación.${\displaystyle \tau }$pero no en cuanto a la longitud${\displaystyle N}$[ ^{6 ]} La energía de dicho estado puede estar en el borde de la banda o dentro de la brecha de banda. Si la energía está dentro de la brecha de banda, el estado es un ^estado superficial localizado en un extremo de la red, pero si la energía está en el borde de la banda, el estado está deslocalizado a través de la red.

• Aproximación de red vacía
• Modelo de electrones casi libres
• Estructura cristalina

• " El modelo de Kronig-Penney " de Michael Croucher, un cálculo interactivo de la estructura de bandas de potencial periódicas 1D usando Mathematica , del proyecto Wolfram Demonstrations .