Sistema de coordenadas perifocales

El sistema de coordenadas perifocales ( PQW ) es un marco de referencia para una órbita . El marco está centrado en el foco de la órbita, es decir, el cuerpo celeste sobre el que se centra la órbita. Los vectores unitarios y se encuentran en el plano de la órbita. está dirigido hacia el periapsis de la órbita y tiene una anomalía verdadera ( ) de 90 grados más allá del periapsis. El tercer vector unitario es el vector de momento angular y está dirigido ortogonalmente al plano orbital de modo que: ^{[1] [2]}${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {q}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {q}} }$${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} =\mathbf {\hat {p}} \times \mathbf {\hat {q}} }$$

Y, dado que es el vector unitario en la dirección del vector del momento angular, también puede expresarse como: donde h es el momento angular relativo específico. ${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$$${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} ={\frac {\mathbf {h} }{\|\mathbf {h} \|}}}$$

Los vectores de posición y velocidad se pueden determinar para cualquier ubicación de la órbita. El vector de posición, r , se puede expresar como: donde es la anomalía verdadera y el radio se puede calcular a partir de la ecuación de la órbita . $${\displaystyle \mathbf {r} =r\cos \theta \mathbf {\hat {p}} +r\sin \theta \mathbf {\hat {q}} }$$${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle r=\|\mathbf {r} \|}$

El vector de velocidad, v , se obtiene tomando la derivada temporal del vector de posición: $${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\dot {r}} =({\dot {r}}\cos \theta -r{\dot {\theta }}\sin \theta )\mathbf {\ sombrero {p}} +({\dot {r}}\sin \theta +r{\dot {\theta }}\cos \theta )\mathbf {\hat {q}} }$$

Se puede hacer una derivación de la ecuación de la órbita para demostrar que: donde es el parámetro gravitacional del foco, h es el momento angular relativo específico del cuerpo orbital, e es la excentricidad de la órbita y es la anomalía verdadera. es el componente radial del vector de velocidad (apuntando hacia adentro hacia el foco) y es el componente tangencial del vector de velocidad. Al sustituir las ecuaciones por y en la ecuación del vector de velocidad y simplificar, la forma final de la ecuación del vector de velocidad se obtiene como: ^[3]$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\mu }{h}}e\sin \theta }$$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle {\punto {r}}}$${\displaystyle r{\punto {\theta }}}$${\displaystyle {\punto {r}}}$${\displaystyle r{\punto {\theta }}}$ $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mu }{h}}\left[-\sin \theta \mathbf {\hat {p}} +(e+\cos \theta )\mathbf {\hat {q}}\derecha]}$$

El sistema de coordenadas perifocales también se puede definir utilizando los parámetros orbitales inclinación ( i ), ascensión recta del nodo ascendente ( ) y el argumento de periapsis ( ). Las siguientes ecuaciones convierten las coordenadas perifocales en coordenadas ecuatoriales y viceversa. ^[4]${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \omega}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{\text{ecuatorial}}\\y_{\text{ecuatorial}}\\z_{\text{ecuatorial}}\\\end{bmatrix}}={\begin{ bmatrix}\cos \Omega \cos \omega -\sin \Omega \cos i\sin \omega &-\cos \Omega \sin \omega -\sin \Omega \cos i\cos \omega &\sin \Omega \sin i\\\sin \Omega \cos \omega +\cos \Omega \cos i\sin \omega &-\sin \Omega \sin \omega +\cos \Omega \cos i\cos \omega &-\cos \Omega \sin i\\\sin i\sin \omega &\sin i\cos \omega &\cos i\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\text{perifocal}}\\y_{\text{perifocal}}\\z_{\text{perifocal}}\\\end{bmatrix} }}$$

En la mayoría de los casos, . ${\displaystyle z_{\text{perifocal}}=0}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{\text{perifocal}}\\y_{\text{perifocal}}\\z_{\text{perifocal}}\\\end{bmatrix}}={\begin{ bmatrix}\cos \Omega \cos \omega -\sin \Omega \cos i\sin \omega &\sin \Omega \cos \omega +\cos \Omega \cos i\sin \omega &\sin i\sin \omega \\-\cos \Omega \sin \omega -\sin \Omega \cos i\cos \omega &-\sin \Omega \sin \omega +\cos \ Omega \cos i\cos \omega &\sin i\cos \omega \\\sin \Omega \sin i&-\cos \Omega \sin i&\cos i\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\text{ecuatorial}}\\y_{\text{ecuatorial}}\\z_{\text{ecuatorial}}\\\end{bmatrix} }}$$

Los marcos de referencia perifocales se utilizan con mayor frecuencia con órbitas elípticas debido a que las coordenadas deben estar alineadas con el vector de excentricidad . Las órbitas circulares , al no tener excentricidad, no brindan ningún medio para orientar el sistema de coordenadas respecto del foco. ^[5]${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

El sistema de coordenadas perifocal también puede utilizarse como marco de referencia inercial , ya que los ejes no giran con respecto a las estrellas fijas. Esto permite calcular la inercia de cualquier cuerpo orbital dentro de este marco de referencia. Esto resulta útil cuando se intenta resolver problemas como el problema de los dos cuerpos . ^[6]