Error de aproximación

El error de aproximación en un valor de datos dado representa la discrepancia significativa que surge cuando se compara un valor exacto y verdadero con alguna aproximación derivada para el mismo. Este error inherente en la aproximación puede cuantificarse y expresarse de dos maneras principales: como un error absoluto , que denota la magnitud numérica directa de esta discrepancia independientemente de la escala del valor verdadero, o como un error relativo , que proporciona una medida escalada del error al considerar el error absoluto en proporción al valor exacto de los datos, ofreciendo así una evaluación de la significancia del error que depende del contexto.

Un error de aproximación puede deberse a una multitud de razones diversas. Entre ellas destacan las limitaciones relacionadas con la precisión de las máquinas de cálculo , donde los sistemas digitales no pueden representar todos los números reales con exactitud perfecta, lo que conlleva una truncación o redondeo inevitables. Otra fuente común es el error de medición inherente , derivado de las limitaciones prácticas de los instrumentos, los factores ambientales o los procesos de observación (por ejemplo, si la longitud real de una hoja de papel es precisamente de 4,53  cm, pero la regla de medición solo permite una estimación al  centímetro más cercano, esta limitación podría llevar a una medición registrada de 4,5  cm, introduciendo así un error).

En el campo matemático del análisis numérico , el concepto crucial de estabilidad numérica asociado a un algoritmo sirve para indicar hasta qué punto los errores o perturbaciones iniciales presentes en los datos de entrada del algoritmo tienen probabilidades de propagarse y amplificarse hasta convertirse en errores sustanciales en el resultado final. Los algoritmos que se caracterizan como numéricamente estables son robustos en el sentido de que no producen un error significativamente magnificado en su resultado, incluso cuando la entrada está ligeramente mal formada o contiene pequeñas imprecisiones; por el contrario, los algoritmos numéricamente inestables pueden presentar un crecimiento drástico del error ante pequeños cambios en la entrada, lo que hace que sus resultados no sean fiables. ^{[ 1 ]}

Dado algún valor verdadero o exacto v , afirmamos formalmente que una aproximación v _aproxima estima o representa v donde la magnitud del error absoluto está limitada por un valor positivo ε (es decir, ε >0), si se cumple la siguiente desigualdad: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle |v-v_{\text{aprox}}|\leq \varepsilon }$

donde las barras verticales, | |, denotan inequívocamente el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero v y su aproximación v _aprox . Esta operación matemática indica la magnitud del error, independientemente de si la aproximación es una sobreestimación o una subestimación.

De manera similar, afirmamos que v _aproxima el valor v donde la magnitud del error relativo está limitada por un valor positivo η (es decir, η >0), siempre que v no sea cero ( v ≠ 0), si se satisface la siguiente desigualdad:

${\displaystyle |v-v_{\text{approx}}|\leq \eta \cdot |v|}$.

Esta definición garantiza que η actúe como un límite superior de la razón entre el error absoluto y la magnitud del valor verdadero. Si v ≠ 0, entonces el error relativo real , a menudo también denotado por η en este contexto (que representa el valor calculado en lugar de un límite), se calcula precisamente como:

${\displaystyle \eta ={\frac {|v-v_{\text{approx}}|}{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|}$.

Nótese que el primer término de la ecuación anterior define implícitamente `ε` como `|v-v_approx|` si `η` es `ε/|v|`.

El error porcentual , a menudo denotado como δ , es una forma común e intuitiva de expresar el error relativo, que efectivamente escala el valor del error relativo a un porcentaje para facilitar su interpretación y comparación en diferentes contextos:

${\displaystyle \delta =100\%\times \eta =100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|.}$

Un límite de error define rigurosamente un límite superior establecido para la magnitud relativa o absoluta de un error de aproximación. Dicho límite proporciona una garantía formal sobre la desviación máxima posible de la aproximación respecto al valor real, lo cual es fundamental en aplicaciones que requieren niveles de precisión conocidos. ^{[ 3 ]}

Para ilustrar estos conceptos con un ejemplo numérico, consideremos un caso en el que el valor exacto y aceptado es 50, y su aproximación correspondiente es 49,9. En este caso particular, el error absoluto es precisamente 0,1 (calculado como |50 − 49,9|), y el error relativo se calcula dividiendo el error absoluto 0,1 entre el valor real 50, lo que da como resultado 0,002. Este error relativo también puede expresarse como 0,2 %. En un contexto más práctico, como al medir el volumen de líquido en un  vaso de precipitados de 6 ml, si la lectura del instrumento indica 5  ml mientras que el volumen real es de 6  ml, el error porcentual para esta medición, redondeado a una cifra decimal, es aproximadamente del 16,7 % (calculado como |(6  ml − 5  ml) / 6  ml| × 100 %).

La utilidad del error relativo se hace particularmente evidente cuando se emplea para comparar la calidad de las aproximaciones de números con magnitudes muy diferentes; por ejemplo, aproximar el número 1000 con un error absoluto de 3 resulta en un error relativo de 0,003 (o 0,3%). En el contexto de la mayoría de las aplicaciones científicas o de ingeniería, esto se considera una aproximación significativamente menos precisa que aproximar el número mucho mayor 1 000 000 con un error absoluto idéntico de 3. En este último caso, el error relativo es de tan solo 0,000003 (o 0,0003%). En el primer caso, el error relativo es de 0,003, mientras que en el segundo escenario, más favorable, es un valor sustancialmente menor de solo 0,000003. Esta comparación resalta claramente cómo el error relativo proporciona una evaluación de la precisión más significativa y contextualmente apropiada, especialmente cuando se trata de valores de diferentes órdenes de magnitud.

Existen dos aspectos cruciales o advertencias relacionados con la interpretación y aplicación del error relativo que siempre deben tenerse en cuenta. En primer lugar, el error relativo se vuelve matemáticamente indefinido cuando el valor verdadero ( v ) es cero, ya que este valor verdadero aparece en el denominador de su cálculo (como se detalla en la definición formal proporcionada anteriormente), y la división por cero es una operación indefinida. En segundo lugar, el concepto de error relativo solo es verdaderamente significativo y consistentemente interpretable cuando las mediciones consideradas se realizan en una escala de razón . Este tipo de escala se caracteriza por poseer un punto cero verdadero y no arbitrario, que significa la ausencia total de la magnitud medida. Si no se cumple esta condición de una escala de razón (por ejemplo, al usar escalas de intervalo como la temperatura Celsius), el error relativo calculado puede volverse muy sensible a la elección de las unidades de medida, lo que podría llevar a interpretaciones erróneas. Por ejemplo, cuando un error absoluto en una medición de temperatura dada en la escala Celsius es de 1  °C, y el valor real es de 2  °C, el error relativo es de 0,5 (o 50 %, calculado como |1  °C / 2  °C|). Sin embargo, si esta misma aproximación, que representa la misma diferencia de temperatura física, se realiza utilizando la escala Kelvin (que es una escala de razón donde 0  K representa el cero absoluto), un error absoluto de 1  K (equivalente en magnitud a un  error de 1 °C) con el mismo valor real de 275,15  K (que es equivalente a 2  °C) da un error relativo marcadamente diferente de aproximadamente 0,00363, o alrededor de 3,63 × 10⁻⁶.⁻³ (calculado como |1 K / 275,15 K|). Esta disparidad subraya la importancia de la escala de medición subyacente.

Al comparar el comportamiento y las características intrínsecas de estos dos tipos de errores fundamentales, es importante reconocer sus diferentes sensibilidades a las operaciones aritméticas comunes. En concreto, las afirmaciones y conclusiones sobre errores relativos son particularmente sensibles a la suma de una constante distinta de cero a los valores reales y aproximados subyacentes, ya que dicha suma altera el valor base con respecto al cual se relativiza el error, modificando así la razón. Sin embargo, los errores relativos no se ven afectados por la multiplicación de los valores reales y aproximados por la misma constante distinta de cero, puesto que esta constante aparecería tanto en el numerador (del error absoluto) como en el denominador (el valor real) del cálculo del error relativo y, por consiguiente, se cancelaría, dejando el error relativo inalterado. Por el contrario, para los errores absolutos , se cumple la relación opuesta: los errores absolutos son directamente sensibles a la multiplicación de los valores subyacentes por una constante (ya que esto escala la magnitud de la diferencia misma), pero son en gran medida insensibles a la suma de una constante a estos valores (ya que sumar la misma constante tanto al valor verdadero como a su aproximación no cambia la diferencia entre ellos: ( v + c) − ( v _aprox + c) = v − v _aprox ). ^{[ 4 ] : 34}

En el ámbito de la teoría de la complejidad computacional , definimos que un valor real v es computable polinomialmente con error absoluto a partir de una entrada dada si, para cualquier número racional ε > 0 especificado que represente el error absoluto máximo permisible deseado, es algorítmicamente posible calcular un número racional v _aproximado tal que v _aproximado se aproxime a v con un error absoluto no mayor que ε (formalmente, | v − v _aproximado | ≤ ε ). Fundamentalmente, este cálculo debe poder realizarse en un tiempo polinomial en términos del tamaño de los datos de entrada y el tamaño de codificación de ε (este último suele ser del orden de O(log(1/ ε )) bits, lo que refleja el número de bits necesarios para representar la precisión). De forma análoga, se considera que el valor v es computable polinómicamente con error relativo si, para cualquier número racional η > 0 especificado que represente el error relativo máximo permisible deseado, es posible calcular un número racional v _aproximado que se aproxime a v con un error relativo no mayor que η (formalmente, |( v − v _aproximado )/ v | ≤ η , suponiendo que v ≠ 0). Este cálculo, al igual que en el caso del error absoluto, debe ser igualmente realizable en un tiempo polinomial con respecto al tamaño de los datos de entrada y el tamaño de codificación de η (que suele ser O(log(1/ η )) bits).

Se puede demostrar que si un valor v es computable polinomialmente con error relativo (utilizando un algoritmo que podemos designar como REL), entonces, en consecuencia, también es computable polinomialmente con error absoluto. Bosquejo de la prueba : Sea ε > 0 el error absoluto máximo objetivo que deseamos alcanzar. El procedimiento comienza invocando el algoritmo REL con una cota de error relativo elegida de, por ejemplo, η = 1/2. Este paso inicial tiene como objetivo encontrar una aproximación de número racional r ₁ tal que la desigualdad | v − r ₁ | ≤ | v |/2 se cumpla. A partir de esta relación, aplicando la desigualdad triangular inversa (| v | − | r ₁ | ≤ | v − r ₁ | ), podemos deducir que | v | ≤ 2| r ₁ | (esto se cumple suponiendo que r ₁ ≠ 0; si r ₁ = 0, entonces la condición de error relativo implica que v también debe ser 0, en cuyo caso el problema de lograr cualquier error absoluto ε > 0 es trivial, ya que v _aprox = 0 funciona, y hemos terminado). Dado que el algoritmo REL opera en tiempo polinomial, la longitud de codificación del r ₁ calculado será necesariamente polinomial con respecto al tamaño de entrada. Posteriormente, el algoritmo REL se invoca una segunda vez, ahora con un nuevo objetivo de error relativo, típicamente mucho más pequeño, establecido en η ' = ε / (2| r ₁ |) (este paso también supone que r ₁ no es cero, lo que podemos asegurar o manejar como un caso especial). Esta segunda aplicación de REL produce otra aproximación de número racional, r ₂ , que satisface la condición | v − r ₂ | ≤ η ' | v |. Sustituyendo la expresión para η ' se obtiene | v − r ₂ | ≤ ( ε / (2| r ₁ |)) | v |. Ahora, usando la desigualdad previamente derivada | v | ≤ 2| r ₁ |, podemos acotar el término: | v − r ₂ | ≤ ( ε / (2| r ₁ |)) × (2| r ₁|) = ε . Por lo tanto, la aproximación r ₂ aproxima con éxito v con el error absoluto deseado ε , lo que demuestra que la computabilidad polinómica con error relativo implica la computabilidad polinómica con error absoluto. ^{[ 4 ] : 34}

La implicación inversa, es decir, que la computabilidad polinómica con error absoluto implica la computabilidad polinómica con error relativo, generalmente no es cierta sin imponer condiciones o supuestos adicionales. Sin embargo, existe un caso especial significativo: si se puede suponer que algún límite inferior positivo b en la magnitud de v (es decir, | v | > b > 0) se puede calcular en tiempo polinomial, y si también se sabe que v es computable polinomialmente con error absoluto (quizás a través de un algoritmo designado como ABS), entonces v también se vuelve computable polinomialmente con error relativo. Esto se debe a que se puede invocar simplemente el algoritmo ABS con un error absoluto objetivo cuidadosamente elegido, específicamente ε _objetivo = ηb , donde η es el error relativo deseado. La aproximación resultante v _aproximada satisfaría | v − v _aproximada | ≤ ηb . Para ver la implicación para el error relativo, dividimos por | v | (que es distinto de cero): |( v − v _aproximada )/ v | ≤ ( ηb )/| v |. Dado que tenemos la condición | v | > b , se deduce que b /| v | < 1. Por lo tanto, el error relativo está acotado por η × ( b /| v |) < η × 1 = η , que es el resultado deseado para la computabilidad polinomial con error relativo.

Un algoritmo que, para cada número racional η > 0, calcula con éxito una _{aproximación de número racional} v que se aproxima a v con un error relativo no mayor que η y, fundamentalmente, lo hace con una complejidad temporal polinómica tanto en el tamaño de la entrada como en el recíproco del error relativo, 1/ η (en lugar de ser polinómica solo en log(1/ η ), lo que normalmente permite un cálculo más rápido cuando η es extremadamente pequeño), se conoce como Esquema de Aproximación en Tiempo Totalmente Polinomial (FPTAS) . La dependencia de 1/ η en lugar de log(1/ η ) es una característica definitoria de FPTAS y lo distingue de esquemas de aproximación más débiles.

En el contexto de la mayoría de los instrumentos de medición indicadores, como voltímetros analógicos o digitales, manómetros y termómetros, la precisión especificada suele estar garantizada por sus fabricantes como un cierto porcentaje de la capacidad de lectura a escala completa del instrumento, en lugar de como un porcentaje de la lectura real. Los límites definidos de estas desviaciones permisibles con respecto a los valores verdaderos o especificados en condiciones operativas se conocen comúnmente como errores límite o, alternativamente, errores de garantía. Este método de especificación de la precisión implica que el error absoluto máximo posible puede ser mayor al medir valores en el extremo superior de la escala del instrumento, mientras que el error relativo con respecto al valor a escala completa permanece constante en todo el rango. En consecuencia, el error relativo con respecto al valor medido real puede llegar a ser bastante grande para lecturas en el extremo inferior de la escala del instrumento. ^{[ 5 ]}

Las definiciones fundamentales de error absoluto y relativo, presentadas principalmente para valores escalares (unidimensionales), pueden extenderse de forma natural y rigurosa a escenarios más complejos donde la cantidad de interés${\displaystyle v}$y su correspondiente aproximación${\displaystyle v_{\text{aprox}}}$son vectores n -dimensionales , matrices o, más generalmente, elementos de un espacio vectorial normado . Esta importante generalización se logra típicamente reemplazando sistemáticamente la función de valor absoluto (que efectivamente mide magnitud o "tamaño" para números escalares) con una norma n -dimensional apropiada para vectores o matrices . Ejemplos comunes de tales normas incluyen la norma L ₁ (suma de los valores absolutos de los componentes), la norma L ₂ (norma euclidiana, o raíz cuadrada de la suma de los componentes al cuadrado) y la norma L _∞ (valor absoluto máximo del componente). Estas normas proporcionan una forma de cuantificar la "distancia" o "diferencia" entre el vector (o matriz) verdadero y su aproximación en un espacio multidimensional, lo que permite definiciones análogas de error absoluto y relativo en estos contextos de dimensiones superiores. ^{[ 6 ]} Por ejemplo, cuando se trata de procesamiento de imágenes , donde las imágenes a menudo se representan como matrices, la norma de Frobenius se usa frecuentemente para cuantificar la diferencia general entre una imagen original y una versión comprimida o reconstruida. En la modelización estadística con datos vectoriales, la norma es una opción común para evaluar el rendimiento de un modelo debido a sus propiedades analíticas.

• Valor aceptado y experimental
• Número de condición
• Errores y residuos en estadística
• Análisis de incertidumbre experimental
• épsilon de máquina
• Error de medición
• Incertidumbre de medición
• Propagación de la incertidumbre
• Error de cuantificación
• Diferencia relativa
• Error de redondeo
• Incertidumbre

• Weisstein, Eric W. "Error porcentual" . MundoMatemático .