Porcentaje

En matemáticas , un porcentaje ( del latín per centum, « por cien » ) es un número o razón expresado como una fracción de 100. A menudo se denota con el signo de porcentaje (% ) , ^{[ 1 ]} aunque también se utilizan las abreviaturas pct. , pct y, a veces , pc . ^{[ 2 ]} Un porcentaje es un número adimensional (número puro), utilizado principalmente para expresar proporciones, pero el porcentaje es, no obstante, una unidad de medida en su ortografía y uso. ^{[ 3 ]} 

Por ejemplo, el 45% (que se lee como "cuarenta y cinco por ciento") es igual a la fracción 45 / 100 , o 0,45. Los porcentajes se utilizan a menudo para expresar una parte proporcional de un total.

(De manera similar, también se puede expresar un número como una fracción de 1000, utilizando el término " por mil " o el símbolo " ‰ ".)

En la Antigua Roma , mucho antes de la existencia del sistema decimal, los cálculos se realizaban a menudo con fracciones en múltiplos de 1/100 . Por ejemplo , Augusto impuso un impuesto de 1/100 sobre los bienes vendidos en subasta , conocido como centesima rerum venalium . Calcular con estas fracciones era equivalente a calcular porcentajes.

A medida que las denominaciones monetarias aumentaron en la Edad Media , los cálculos con denominador 100 se volvieron cada vez más comunes, de tal manera que desde finales del siglo XV hasta principios del siglo XVI, era frecuente que los textos de aritmética incluyeran dichos cálculos. Muchos de estos textos aplicaban estos métodos a las ganancias y pérdidas, las tasas de interés y la regla de tres . Para el siglo XVII, era habitual citar las tasas de interés en centésimas. ^{[ 5 ]}

El término «porcentaje» deriva del latín per centum , que significa «cien» o «por cien». ^{[ 6 ] [ 7 ]} El símbolo de «porcentaje» evolucionó por contracción gradual del término italiano per cento , que significa «por cien». El «per» se abreviaba a menudo como «p.», hasta que finalmente desapareció por completo. El «cento» se contrajo a dos círculos separados por una línea horizontal, de donde deriva el símbolo moderno «%». ^{[ 8 ]}

El porcentaje se calcula multiplicando el valor numérico de la proporción por 100. Por ejemplo, para hallar el porcentaje de 50 manzanas con respecto a 1250 manzanas, primero se calcula la proporción 50 / 1250 = 0,04 y luego se multiplica por 100 para obtener el 4 %. El porcentaje también se puede calcular multiplicando primero en lugar de después; así, en este ejemplo, 50 se multiplicaría por 100 para obtener 5000, y este resultado se dividiría entre 1250 para obtener el 4 %.

Para calcular un porcentaje de un porcentaje, convierte ambos porcentajes a fracciones de 100 o a decimales, y multiplícalos. Por ejemplo, el 50% del 40% es:

50 / 100 × 40 / 100 = 0,50 × 0,40 = 0,20 = 20 / 100 = 20 % .

No es correcto dividir entre 100 y usar el signo de porcentaje al mismo tiempo; implicaría literalmente una división entre 10 000. Por ejemplo, 25 % = 25 / 100 = 0,25, no 25 % / 100, que en realidad es 25 / 100 / 100 = 0,0025 . Un término como 100 / 100 % también sería incorrecto , ya que se leería como 1 por ciento , incluso si la intención fuera decir 100 %.

Al hablar de porcentajes, es importante especificar con qué se compara (es decir, cuál es el total que corresponde al 100%). El siguiente problema ilustra este punto.

En una universidad, el 60% del alumnado es femenino y el 10% estudia informática. Si el 5% del alumnado femenino estudia informática, ¿qué porcentaje del alumnado que estudia informática es femenino?

Se nos pide calcular la proporción de mujeres que estudian informática con respecto al total de estudiantes de informática. Sabemos que el 60% del alumnado es femenino, y de estos, el 5% estudia informática. Por lo tanto, concluimos que 60/100 × 5/100 = 3/100 , es decir , el 3 % del alumnado estudia informática . Dividiendo este porcentaje entre el 10% del alumnado que estudia informática, obtenemos la respuesta: 3 % / 10% = 30/100 , es decir , el 30% del alumnado estudia informática.

Este ejemplo está estrechamente relacionado con el concepto de probabilidad condicional .

Debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, invertir las expresiones no cambia el resultado; por ejemplo, el 50% de 20 es 10, y el 20% de 50 es 10.

El cálculo de porcentajes se realiza y enseña de diferentes maneras según los requisitos y necesidades. De esta forma, se pueden obtener las fórmulas habituales con proporciones, lo que evita tener que memorizarlas. En el cálculo mental, la pregunta intermedia suele ser cuánto es (o a cuánto corresponde) el 100 % o el 1 %.

Ejemplo:

42  kg equivalen al 7%. ¿Cuánto es (a cuánto corresponde) el 100%? Se nos dan W (porcentaje) y p  % (porcentaje). Buscamos G (valor base).

Debido a su uso inconsistente, no siempre queda claro a qué se refiere un porcentaje. Cuando se habla de un aumento del 10 % o una disminución del 10 % en una cantidad, la interpretación habitual es que se refiere al valor inicial de dicha cantidad. Por ejemplo, si un artículo tiene un precio inicial de 200 dólares y su precio aumenta un 10 % (un incremento de 20 dólares), el nuevo precio será de 220 dólares. Cabe destacar que este precio final representa el 110 % del precio inicial (100 % + 10 % = 110 %).

Otros ejemplos de cambios porcentuales :

• Un aumento del 100% en una cantidad significa que la cantidad final es el 200% de la cantidad inicial (100% de la cantidad inicial + 100% del aumento = 200% de la cantidad inicial). En otras palabras, la cantidad se ha duplicado.
• Un aumento del 800% significa que la cantidad final es 9 veces la original (100% + 800% = 900% = 9 veces mayor).
• Una disminución del 60% significa que la cantidad final es el 40% de la original (100% – 60% = 40%).
• Una disminución del 100% significa que la cantidad final es cero (100% – 100% = 0%).

En general, un cambio del x por ciento en una cantidad resulta en una cantidad final que es 100  + x por ciento de la cantidad original (o, equivalentemente, (1 + 0,01 x ) veces la cantidad original). Una propiedad importante de estos cambios es su reversibilidad asimétrica; un aumento porcentual requiere una disminución porcentual diferente para volver al valor original. Por ejemplo, un aumento del 25 % (de $100 a $125) debe ir seguido de una disminución del 20 % (de $125 a $100) para restablecer la cantidad inicial. Comprender estas relaciones recíprocas es un requisito común en los cálculos de margen de beneficio, donde el "porcentaje de reversión" se calcula como (1 / (1 + r )) - 1 , donde r es la tasa inicial. ^{[ 9 ]}   

Los cambios porcentuales aplicados secuencialmente no se suman de la forma habitual. Por ejemplo, si al aumento del 10 % en el precio considerado anteriormente (en el artículo de $200, que pasa a costar $220) le sigue una disminución del 10 % (una disminución de $22), el precio final será de $198, y no el precio original de $200. La razón de esta aparente discrepancia es que los dos cambios porcentuales (+10 % y -10 %) se miden con respecto a valores iniciales diferentes ($200 y $220, respectivamente) y, por lo tanto, no se compensan entre sí.

En general, si un aumento del x por ciento es seguido por una disminución del x por ciento, y la cantidad inicial era p , la cantidad final es p (1 + 0.01 x )(1 − 0.01 x ) = p (1 − (0.01 x ) ² ) ; por lo tanto, el cambio neto es una disminución general del x por ciento del x por ciento (el cuadrado del cambio porcentual original cuando se expresa como un número decimal). Así, en el ejemplo anterior, después de un aumento y una disminución de x = 10 por ciento , la cantidad final, $198, fue el 10% del 10%, o 1%, menos que la cantidad inicial de $200. El cambio neto es el mismo para una disminución del x por ciento, seguida de un aumento del x por ciento; la cantidad final es p (1 - 0.01 x )(1 + 0.01 x ) = p (1 − (0.01 x ) ² ) . Esta naturaleza multiplicativa implica que calcular un porcentaje de un porcentaje requiere tratar cada uno como una fracción del total. Por ejemplo, determinar una porción del 20 % dentro de un segmento del 50 % resulta en el 10 % del total ($0.20 \times 0.50 = 0.10$). Esta distinción es vital en la modelización financiera y el análisis estadístico para evitar "falacias aditivas" al trabajar con ratios anidados. Un desglose paso a paso de estos cálculos multicapa puede utilizarse para verificar resultados complejos que involucren dichos porcentajes anidados. ^{[ 10 ]}

Esto se puede ampliar para un caso donde no se tiene el mismo porcentaje de cambio. Si la cantidad inicial p produce un cambio porcentual x , y el segundo cambio porcentual es y , entonces la cantidad final es p (1 + 0.01 x )(1 + 0.01 y ) . Para cambiar el ejemplo anterior, después de un aumento de x = 10 por ciento y una disminución de y = −5 por ciento , la cantidad final, $209, es un 4.5% mayor que la cantidad inicial de $200.

Como se muestra arriba, los cambios porcentuales se pueden aplicar en cualquier orden y tendrán el mismo efecto.

En el caso de los tipos de interés , una forma muy común pero ambigua de decir que un tipo de interés subió del 10 % anual al 15 % anual, por ejemplo, es decir que el tipo de interés aumentó un 5 %, lo que teóricamente podría significar que subió del 10 % anual al 10,5 % anual. Es más claro decir que el tipo de interés aumentó 5 puntos porcentuales (pp). La misma confusión entre los diferentes conceptos de porcentaje y puntos porcentuales puede provocar un gran malentendido cuando los periodistas informan sobre los resultados electorales, por ejemplo, al expresar tanto los nuevos resultados como las diferencias con los resultados anteriores en porcentajes. Por ejemplo, si un partido obtiene el 41% de los votos y se dice que esto representa un aumento del 2,5%, ¿significa eso que el resultado anterior fue del 40% (ya que 41 = 40 × (1 + 2,5 / 100 ) ) o del 38,5% (ya que 41 = 38,5 + 2,5 )?

En los mercados financieros, es común referirse a un aumento de un punto porcentual (por ejemplo, del 3% anual al 4% anual) como un aumento de "100 puntos básicos ".

En la mayoría de las variantes del inglés , percent se suele escribir como dos palabras ( per cent ), aunque percentage y percentile se escriben como una sola palabra. ^{[ 11 ]} En inglés americano , percent es la variante más común ^{[ 12 ]} (pero per mille se escribe como dos palabras).

A principios del siglo XX, existía una forma abreviada con puntos « per cent. », en contraposición a « per cent ». La forma « per cent. » todavía se utiliza en el lenguaje altamente formal que se encuentra en ciertos documentos como los contratos de préstamos comerciales (particularmente aquellos sujetos a, o inspirados por, el derecho común), así como en las transcripciones de Hansard de los procedimientos parlamentarios británicos. El término se ha atribuido al latín per centum . ^{[ 13 ]} El símbolo de porcentaje (%) evolucionó a partir de un símbolo que abreviaba el italiano per cento . En algunos otros idiomas, se utiliza en su lugar la forma procent o prosent . Algunos idiomas utilizan tanto una palabra derivada de percent como una expresión en ese idioma que significa lo mismo, por ejemplo, el rumano procent y la sută (así, 10% se puede leer o a veces escribir ten for [each] hundred , de manera similar al inglés one out of ten ). Otras abreviaturas son menos comunes, pero a veces se ven.

Las guías de gramática y estilo suelen diferir en cuanto a cómo se deben escribir los porcentajes. Por ejemplo, se suele sugerir que la palabra «porcentaje» (o «por ciento») se escriba completa en todos los textos, como en «1  por ciento» y no en «1 %». Otras guías prefieren que se escriba la palabra completa en textos humanísticos, pero que se utilice el símbolo en textos científicos. La mayoría de las guías coinciden en que siempre se escriban con un número, como en «5 por ciento» y no en «cinco por ciento», con la única excepción de cuando están al principio de una oración: «El diez por ciento de todos los  escritores adoran las guías de estilo». También se deben usar decimales en lugar de fracciones, como en «3,5 por ciento de la ganancia» y no en « 3 + 1/2 por ciento de la ganancia». Sin embargo, los títulos de los bonos emitidos por gobiernos y otros emisores utilizan la forma fraccionaria, por ejemplo, « 3 + 1/2 % Unsecured Loan Stock 2032 Series 2». (Cuando los tipos de interés son muy bajos, se incluye el número 0 si el tipo de interés es inferior al 1%, por ejemplo, " 0 + 3/4 % Acciones del Tesoro ", no " 3/4 % Acciones del Tesoro"). También es ampliamente aceptado el uso del símbolo de porcentaje (%) en tablas y gráficos.

De acuerdo con la práctica común del inglés, las guías de estilo —como el Manual de estilo de Chicago— generalmente indican que el número y el signo de porcentaje se escriben sin espacio entre ellos. ^{[ 14 ]} Sin embargo, el Sistema Internacional de Unidades y la norma ISO 31-0 requieren un espacio. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Porcentaje utilizado para indicar la pendiente descendente de una carretera.

El término "porcentaje" suele ser un término inapropiado en el contexto de las estadísticas deportivas, cuando la cifra a la que se hace referencia se expresa como una proporción decimal, no como un porcentaje: " Shaquille O'Neal , de los Phoenix Suns , lideró la NBA con un porcentaje de tiros de campo (FG%) de .609 durante la temporada 2008-09". (O'Neal encestó el 60.9% de sus tiros, no el 0.609%). Del mismo modo, el porcentaje de victorias de un equipo, la fracción de partidos que ha ganado el club, también se suele expresar como una proporción decimal; un equipo con un porcentaje de victorias de .500 ha ganado el 50% de sus partidos. Esta práctica probablemente esté relacionada con la forma similar en que se citan los promedios de bateo .

Como "porcentaje" se usa para describir la pendiente o inclinación, la inclinación de una carretera o vía férrea , cuya fórmula es 100  × elevación / recorrido , que también podría expresarse como la tangente del ángulo de inclinación multiplicada por 100. Esta es la relación de las distancias que un vehículo avanzaría vertical y horizontalmente, respectivamente, al subir o bajar una pendiente, expresada en porcentaje. 

El porcentaje también se utiliza para expresar la composición de una mezcla mediante porcentaje en masa y porcentaje molar .

• Diferencia en puntos porcentuales de 1 parte en 100
• Por mil (‰) 1 parte en 1.000
• Diferencia en puntos básicos (pb) de 1 parte en 10.000
• Permiríada (‱) 1 parte en 10.000
• Porcentaje por mil (pcm) 1 parte en 100.000
• Centurión

• Porcentaje de Baker
• Porcentaje de volumen

• Cambio relativo y diferencia
• Diferencia porcentual
• Cambio porcentual
• Notación de partes por
• Sistema por unidad
• Función de porcentaje

• Definición de porcentaje en el diccionario Wikcionario