Parametrización (geometría)

En matemáticas , y más específicamente en geometría , la parametrización (o parametrización ; también parametrización , parametrización ) es el proceso de encontrar ecuaciones paramétricas de una curva , una superficie o, más generalmente, una variedad o una diversidad , definidas por una ecuación implícita . El proceso inverso se llama implicitación . ^{[ 1 ]} "Parametrizar" significa en sí mismo "expresar en términos de parámetros ". ^{[ 2 ]}

La parametrización es un proceso matemático que consiste en expresar el estado de un sistema , proceso o modelo como una función de ciertas cantidades independientes llamadas parámetros . El estado del sistema generalmente se determina mediante un conjunto finito de coordenadas , y la parametrización consiste, por lo tanto, en una función de varias variables reales para cada coordenada. El número de parámetros es el número de grados de libertad del sistema.

Por ejemplo, la posición de un punto que se mueve en una curva en el espacio tridimensional está determinada por el tiempo necesario para alcanzar el punto partiendo de un origen fijo. Si x , y , z son las coordenadas del punto, el movimiento se describe mediante una ecuación paramétrica ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t)\\z&=h(t),\end{aligned}}}$

donde t es el parámetro y denota el tiempo. Dicha ecuación paramétrica determina completamente la curva, sin necesidad de interpretar t como tiempo, y por lo tanto se denomina ecuación paramétrica de la curva (a veces se abrevia diciendo que se tiene una curva paramétrica ). De manera similar, se obtiene la ecuación paramétrica de una superficie considerando funciones de dos parámetros t y u .

Las parametrizaciones no son generalmente únicas . El objeto tridimensional ordinario puede parametrizarse (o "coordinarse") con la misma eficiencia con coordenadas cartesianas ( x , y , z ), coordenadas polares cilíndricas ( ρ , φ , z ), coordenadas esféricas ( r , φ, θ) u otros sistemas de coordenadas .

De manera similar, el espacio de color de la visión tricromática humana se puede parametrizar en términos de los tres colores rojo, verde y azul, RGB , o con cian, magenta, amarillo y negro, CMYK .

Generalmente, el número mínimo de parámetros necesarios para describir un modelo u objeto geométrico es igual a su dimensión , y el alcance de los parámetros —dentro de sus rangos permitidos— es el espacio de parámetros . Si bien un buen conjunto de parámetros permite identificar cada punto en el espacio del objeto, puede ocurrir que, para una parametrización dada, diferentes valores de parámetros se refieran al mismo punto. Tales mapeos son sobreyectivos pero no inyectivos . Un ejemplo es el par de coordenadas polares cilíndricas (ρ, φ, z ) y (ρ, φ + 2π, z ).

Como se indicó anteriormente, existe arbitrariedad en la elección de parámetros de un modelo, objeto geométrico, etc. A menudo, se busca determinar propiedades intrínsecas de un objeto que no dependan de esta arbitrariedad y que, por lo tanto, sean independientes de cualquier elección particular de parámetros. Esto es especialmente cierto en física, donde la invariancia de parametrización (o «invariancia de reparametrización») es un principio rector en la búsqueda de teorías físicamente aceptables (en particular, en la relatividad general ).

Por ejemplo, si bien la ubicación de un punto fijo en una línea curva puede estar dada por un conjunto de números cuyos valores dependen de cómo se parametriza la curva, la longitud (definida adecuadamente) de la curva entre dos puntos fijos será independiente de la elección particular de la parametrización (en este caso: el método mediante el cual se indexa de forma única un punto arbitrario en la línea). Por lo tanto, la longitud de la curva es una magnitud invariante a la parametrización. En tales casos, la parametrización es una herramienta matemática empleada para obtener un resultado cuyo valor no depende de los detalles de la parametrización ni hace referencia a ellos. De manera más general, la invariancia a la parametrización de una teoría física implica que la dimensionalidad o el volumen del espacio de parámetros es mayor de lo necesario para describir la física (las magnitudes de significado físico) en cuestión.

Si bien la teoría de la relatividad general puede expresarse sin referencia a un sistema de coordenadas, los cálculos de magnitudes físicas (es decir, observables), como la curvatura del espaciotiempo , implican invariablemente la introducción de un sistema de coordenadas específico para referirse a los puntos del espaciotiempo involucrados en el cálculo. En el contexto de la relatividad general, la elección del sistema de coordenadas puede considerarse un método para "parametrizar" el espaciotiempo, y la insensibilidad del resultado del cálculo de una magnitud físicamente significativa a dicha elección puede considerarse un ejemplo de invariancia de parametrización.

Como otro ejemplo, se dice que las teorías físicas cuyas magnitudes observables dependen únicamente de las distancias relativas (la relación entre distancias) entre pares de objetos son invariantes de escala . En tales teorías, cualquier referencia a una distancia absoluta durante un cálculo implicaría la introducción de un parámetro al que la teoría es invariante.

• Superficie del niño
• Parametrización de McCullagh de las distribuciones de Cauchy
• Parametrización (clima) , la representación paramétrica de los modelos de circulación general y la predicción numérica del tiempo.
• Perfil de esfera isotérmica singular
• Modelo Lambda-CDM , el modelo estándar de la cosmología del Big Bang .

• Parametrización de Feynman
• Parametrización de Schwinger
• Modelado sólido
• Inyección de dependencias

• Breve descripción de la parametrización según la Universidad Estatal de Oregón , su utilidad y una lista de artículos sobre el tema.