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Articulo de referencia

Paralelo (operador)

Interpretación gráfica del operador paralelo con a ∥ b = do {\displaystyle a\parallel b=c} El operador paralelo ‖ {\displaystyle \|} (pronunciado "paralelo", [ 1 ] siguiendo la ...

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Interpretación gráfica del operador paralelo cona∥b=do{\displaystyle a\parallel b=c}

El operador paralelo‖{\displaystyle \|}(pronunciado "paralelo", [ 1 ] siguiendo la notación de líneas paralelas de la geometría ; [ 2 ] [ 3 ] también conocido como suma reducida , suma paralela o adición paralela ) es una operación binaria que se utiliza como una abreviatura en ingeniería eléctrica , [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ nb 1 ] pero también se utiliza en cinética , mecánica de fluidos y matemáticas financieras . [ 7 ] [ 8 ] El nombre paralelo proviene del uso del operador que calcula la resistencia combinada de resistencias en paralelo .

Descripción general

Un nomograma utilizado para calcular la resistencia eléctrica en paralelo .

El operador paralelo representa el valor recíproco de una suma de valores recíprocos (a veces también denominado "fórmula recíproca" o " suma armónica ") y se define por: [ 9 ] [ 6 ] [ 10 ] [ 11 ]

a∥b:=11a+1b=aba+b,{\displaystyle a\parallel b\mathrel {:=} {\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {ab}{a+b}},}

donde a , b ya∥b{\displaystyle a\parallel b}son elementos de los números complejos extendidosdo¯=do∪{∞}.{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}[ 12 ] [ 13 ]

El operador da la mitad de la media armónica de dos números a y b . [ 7 ] [ 8 ]

Como caso especial, para cualquier númeroa∈do¯{\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}:

a∥a=12/a=12a.{\displaystyle a\parallel a={\frac {1}{2/a}}={\tfrac {1}{2}}a.}

Además, para todos los números distintosa≠b{\displaystyle a\neq b}:

|a∥b|>12min(|a|,|b|),{\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}>{\tfrac {1}{2}}\min {\bigl (}|a|,|b|{\bigr )},}

con|a∥b|{\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}}representando el valor absoluto dea∥b{\displaystyle a\parallel b}, ymin(incógnita,y){\displaystyle \min(x,y)}es decir, el mínimo ( elemento más pequeño ) entre x e y .

Sia{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}son números reales positivos distintos entonces12min(a,b)<|a∥b|<min(a,b).{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\min(a,b)<{\big |}\,a\parallel b\,{\big |}<\min(a,b).}

El concepto se ha extendido de una operación escalar a matrices [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] y se ha generalizado aún más . [ 19 ]

Notación

El operador fue introducido originalmente como suma reducida por Sundaram Seshu en 1956, [ 20 ] [ 21 ] [ 14 ] estudiado como operador por Kent E. Erickson en 1959, [ 22 ] [ 23 ] [ 14 ] y popularizado por Richard James Duffin y William Niles Anderson, Jr. como operador de suma paralela o suma paralela en matemáticas y teoría de redes desde 1966. [ 15 ] [ 16 ] [ 1 ] Si bien algunos autores continúan usando este símbolo hasta el presente, [ 7 ] [ 8 ] por ejemplo, Sujit Kumar Mitra lo usó como símbolo en 1970. [ 14 ] En electrónica aplicada , un signo se volvió más común como símbolo del operador alrededor de 1974 . [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ nb 1 ] [ nb 2 ] Esto se escribía a menudo como una doble línea vertical ( | | ) disponible en la mayoría de los conjuntos de caracteres (a veces en cursiva como [ 29 ] [ 30 ] ), pero ahora se puede representar usando el carácter Unicode U+2225 ( ∥ ) para "paralelo a". En LaTeX y lenguajes de marcado relacionados, las macros y se usan a menudo (y rara vez se usa) para denotar el símbolo del operador. ∗ :∙ ∥//  \|\parallel\smallparallel

Propiedades

Dejardo~{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}representar el plano complejo extendido excluyendo el cero,do~:=do∪{∞}∖{0},{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\smallsetminus \{0\},}yφ{\displaystyle \varphi }la función biyectiva dedo{\displaystyle \mathbb {C} }ado~{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}de tal manera queφ(z)=1/z.{\displaystyle \varphi (z)=1/z.}Uno tiene identidades

φ(zt)=φ(z)φ(t),{\displaystyle \varphi (zt)=\varphi (z)\varphi (t),}

y

φ(z+t)=φ(z)∥φ(t){\displaystyle \varphi (z+t)=\varphi (z)\parallel \varphi (t)}

Esto implica inmediatamente quedo~{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}es un campo donde el operador paralelo toma el lugar de la suma, y ​​que este campo es isomorfo ado.{\displaystyle \mathbb {C} .}

Las siguientes propiedades se pueden obtener mediante la traducción a través deφ{\displaystyle \varphi }las propiedades correspondientes de los números complejos.

Propiedades del terreno

Como en cualquier otro campo,(do~,∥,⋅){\displaystyle ({\widetilde {\mathbb {C} }},\,\parallel \,,\,\cdot \,)}Satisface una variedad de identidades básicas.

Es conmutativa bajo paralelismo y multiplicación:

a∥b=b∥aab=ba{\displaystyle {\begin{aligned}a\parallel b&=b\parallel a\\[3mu]ab&=ba\end{aligned}}}

Es asociativo bajo paralelismo y multiplicación: [ 12 ] [ 7 ] [ 8 ]

(a∥b)∥do=a∥(b∥do)=a∥b∥do=11a+1b+1do=abdoab+ado+bdo,(ab)do=a(bdo)=abdo.{\displaystyle {\begin{aligned}&(a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}+{\dfrac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}},\\&(ab)c=a(bc)=abc.\end{aligned}}}

Ambas operaciones tienen un elemento de identidad ; para el paralelismo la identidad es∞{\displaystyle \infty }mientras que para la multiplicación la identidad es 1 :

a∥∞=∞∥a=11a+0=a,1⋅a=a⋅1=a.{\displaystyle {\begin{aligned}&a\parallel \infty =\infty \parallel a={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+0}}=a,\\&1\cdot a=a\cdot 1=a.\end{aligned}}}

Cada elementoa{\displaystyle a}dedo~{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}tiene una inversa bajo el paralelismo, igual a−a,{\displaystyle -a,}el inverso aditivo bajo la suma. (Pero 0 no tiene inverso bajo la operación en paralelo).

a∥(−a)=11a−1a=∞.{\displaystyle a\parallel (-a)={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{a}}}}=\infty .}

El elemento identidad∞{\displaystyle \infty }es su propio inverso,∞∥∞=∞.{\displaystyle \infty \parallel \infty =\infty .}

Cada elementoa≠∞{\displaystyle a\neq \infty }dedo~{\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}tiene un inverso multiplicativoa−1=1/a{\displaystyle a^{-1}=1/a}:

a⋅1a=1.{\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1.}

La multiplicación es distributiva sobre paralelo: [ 1 ] [ 7 ] [ 8 ]

k(a∥b)=k1a+1b=11ka+1kb=ka∥kb.{\displaystyle k(a\parallel b)={\frac {k}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{ka}}+{\dfrac {1}{kb}}}}=ka\parallel kb.}

Paralelo repetido

El paralelismo repetido es equivalente a la división,

a∥a∥⋯∥a⏟norte veces=11a+1a+⋯+1a⏟norte veces=anorte.{\displaystyle \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}}={\frac {1}{\underbrace {{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{a}}+\cdots +{\dfrac {1}{a}}} _{n{\text{ times}}}}}={\frac {a}{n}}.}

O bien, multiplicando ambos lados por n ,

norte(a∥a∥⋯∥a⏟norte veces)=a.{\displaystyle n(\underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}})=a.}

A diferencia de la suma repetida , esto no conmuta:

ab≠baimplicaa∥a∥⋯∥a⏟b veces≠b∥b∥⋯∥b⏟a veces .{\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}\quad {\text{implies}}\quad \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{b{\text{ times}}}\,\neq \,\underbrace {b\parallel b\parallel \cdots \parallel b} _{a{\text{ times}}}~\!.}

Expansión binomial

Utilizando la propiedad distributiva dos veces, el producto de dos binomios paralelos se puede expandir como

(a∥b)(do∥d)=a(do∥d)∥b(do∥d)=ado∥ad∥bdo∥bd.{\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)(c\parallel d)&=a(c\parallel d)\parallel b(c\parallel d)\\[3mu]&=ac\parallel ad\parallel bc\parallel bd.\end{aligned}}}

El cuadrado de un binomio es

(a∥b)2=a2∥ab∥ba∥b2=a2∥12ab∥b2.{\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)^{2}&=a^{2}\parallel ab\parallel ba\parallel b^{2}\\[3mu]&=a^{2}\parallel {\tfrac {1}{2}}ab\parallel b^{2}.\end{aligned}}}

El cubo de un binomio es

(a∥b)3=a3∥13a2b∥13ab2∥b3.{\displaystyle (a\parallel b)^{3}=a^{3}\parallel {\tfrac {1}{3}}a^{2}b\parallel {\tfrac {1}{3}}ab^{2}\parallel b^{3}.}

En general, la enésima potencia de un binomio se puede expandir utilizando coeficientes binomiales que son el recíproco de los que se obtienen al sumar, lo que da como resultado un análogo de la fórmula binomial :

(a∥b)norte=anorte(norte0)∥anorte−1b(norte1)∥⋯∥anorte−kbk(nortek)∥⋯∥bnorte(nortenorte).{\displaystyle (a\parallel b)^{n}={\frac {a^{n}}{\binom {n}{0}}}\parallel {\frac {a^{n-1}b}{\binom {n}{1}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {a^{n-k}b^{k}}{\binom {n}{k}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {b^{n}}{\binom {n}{n}}}.}

Logaritmo y exponencial

Se cumplen las siguientes identidades:

1registro⁡(ab)=1registro⁡(a)∥1registro⁡(b),{\displaystyle {\frac {1}{\log(ab)}}={\frac {1}{\log(a)}}\parallel {\frac {1}{\log(b)}},}
exp⁡(1a∥b)=exp⁡(1a)exp⁡(1b){\displaystyle \exp \left({\frac {1}{a\parallel b}}\right)=\exp \left({\frac {1}{a}}\right)\exp \left({\frac {1}{b}}\right)}

Factorización de polinomios paralelos

Al igual que con un polinomio bajo la suma, un polinomio paralelo con coeficientesak{\displaystyle a_{k}}endo~{\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}(cona0≠∞{\displaystyle a_{0}\neq \infty }) se puede factorizar en un producto de monomios:

a0incógnitanorte∥a1incógnitanorte−1∥⋯∥anorte=a0(incógnita∥−r1)(incógnita∥−r2)⋯(incógnita∥−rnorte){\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}x^{n}\parallel a_{1}x^{n-1}\parallel \cdots \parallel a_{n}=a_{0}(x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})\end{aligned}}}

por algunas raícesrk{\displaystyle r_{k}}(posiblemente repetido) endo~.{\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}.}

Análogamente a los polinomios bajo la suma, la ecuación polinómica

(incógnita∥−r1)(incógnita∥−r2)⋯(incógnita∥−rnorte)=∞{\displaystyle (x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})=\infty }

implica queincógnita=rk{\textstyle x=r_{k}}para algún k .

Fórmula cuadrática

Una ecuación lineal se puede resolver fácilmente mediante la inversa paralela:

aincógnita∥b=∞⟹incógnita=−ba.{\displaystyle {\begin{aligned}ax\parallel b&=\infty \\[3mu]\implies x&=-{\frac {b}{a}}.\end{aligned}}}

Para resolver una ecuación cuadrática paralela , complete el cuadrado para obtener un análogo de la fórmula cuadrática.

aincógnita2∥bincógnita∥do=∞incógnita2∥baincógnita=−doaincógnita2∥baincógnita∥4b2a2=(−doa)∥4b2a2(incógnita∥2ba)2=b2∥−14ado14a2⟹incógnita=(−b)∥±b2∥−14ado12a.{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}\parallel bx\parallel c&=\infty \\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}\\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}&=\left(-{\frac {c}{a}}\right)\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}\\[5mu]\left(x\parallel {\frac {2b}{a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}{{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}\\[5mu]\implies x&={\frac {(-b)\parallel \pm {\sqrt {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}}}{{\tfrac {1}{2}}a}}.\end{aligned}}}

Incluido cero

Los números complejos extendidos que incluyen el cero,do¯:=do∪∞,{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \infty ,}ya no es un campo bajo paralelismo y multiplicación, porque 0 no tiene inverso bajo paralelismo. (Esto es análogo a la forma en que(do¯,+,⋅){\displaystyle {\bigl (}{\overline {\mathbb {C} }},{+},{\cdot }{\bigr )}}no es un campo porque∞{\displaystyle \infty }no tiene inverso aditivo.)

Para cada a distinto de cero ,

a∥0=11a+10=0{\displaystyle a\parallel 0={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{0}}}}=0}

La cantidad0∥(−0)=0∥0{\displaystyle 0\parallel (-0)=0\parallel 0}puede dejarse sin definir (ver forma indeterminada ) o definirse como igual a 0 .

Precedencia

En ausencia de paréntesis, el operador paralelo se define como teniendo precedencia sobre la suma o la resta , de forma similar a la multiplicación. [ 1 ] [ 31 ] [ 9 ] [ 10 ]

Aplicaciones

El operador paralelo tiene aplicaciones en mecánica, electrónica, óptica y en el estudio de la periodicidad:

Masa reducida

Dadas las masas m y M , la masa reducidaμ=metroMETROmetro+METRO=metro∥METRO{\displaystyle \mu ={\frac {mM}{m+M}}=m\parallel M}Se aplica con frecuencia en mecánica. Por ejemplo, cuando dos masas orbitan una alrededor de la otra, el momento de inercia es igual a su masa reducida multiplicada por la distancia que las separa.

Análisis de circuitos

En ingeniería eléctrica , el operador paralelo se puede utilizar para calcular la impedancia total de varios circuitos eléctricos en serie y en paralelo . [ nb 2 ] Existe una dualidad entre la suma usual (en serie) y la suma en paralelo. [ 7 ] [ 8 ]

Por ejemplo, la resistencia total de las resistencias conectadas en paralelo es el recíproco de la suma de los recíprocos de las resistencias individuales .

Un diagrama de varias resistencias, una al lado de la otra, con ambos terminales de cada una conectados a los mismos cables.
1Req=1R1+1R2+⋯+1RnorteReq=R1∥R2∥⋯∥Rnorte.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{R_{\text{eq}}}}&={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\\[5mu]R_{\text{eq}}&=R_{1}\parallel R_{2}\parallel \cdots \parallel R_{n}.\end{aligned}}}

Igualmente para la capacitancia total de los capacitores en serie . [ nb 2 ]

Coalescencia de funciones de densidad de probabilidad independientes.

La función de densidad coalescida f coalescida (x) de n funciones de densidad de probabilidad independientes f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x), es igual al recíproco de la suma de las densidades recíprocas. [ 32 ]

1Fdooalmisdomid(incógnita)=1F1(incógnita)+1F2(incógnita)+⋯+1Fnorte(incógnita){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{f_{coalesced}(x)}}&={\frac {1}{f_{1}(x)}}+{\frac {1}{f_{2}(x)}}+\cdots +{\frac {1}{f_{n}(x)}}\\[5mu]\end{aligned}}}

ecuación de la lente

En óptica geométrica, la aproximación de lente delgada a la ecuación del fabricante de lentes.

F=ρvirttúal∥ρobjmidot{\displaystyle f=\rho _{virtual}\parallel \rho _{object}}

período sinódico

El tiempo entre conjunciones de dos cuerpos en órbita se llama período sinódico . Si el período del cuerpo más lento es T2 y el período del más rápido es T1 , entonces el período sinódico es

Tsynorte=T1∥(−T2).{\displaystyle T_{syn}=T_{1}\parallel (-T_{2}).}

Ejemplos

Pregunta:

Tres resistenciasR1=270kΩ{\displaystyle R_{1}=270\,\mathrm {k\Omega } },R2=180kΩ{\displaystyle R_{2}=180\,\mathrm {k\Omega } }yR3=120kΩ{\displaystyle R_{3}=120\,\mathrm {k\Omega } }están conectados en paralelo . ¿Cuál es su resistencia resultante?

Respuesta:

R1∥R2∥R3=270kΩ∥180kΩ∥120kΩ=11270kΩ+1180kΩ+1120kΩ≈56,84kΩ{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}&=270\,\mathrm {k\Omega } \parallel 180\,\mathrm {k\Omega } \parallel 120\,\mathrm {k\Omega } \\[5mu]&={\frac {1}{{\dfrac {1}{270\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{180\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{120\,\mathrm {k\Omega } }}}}\\[5mu]&\approx 56.84\,\mathrm {k\Omega } \end{aligned}}}
La resistencia efectiva resultante es de aproximadamente 57  kΩ .

Pregunta: [ 7 ] [ 8 ]

Un obrero de la construcción levanta un muro en 5 horas. Otro obrero necesitaría 7 horas para realizar el mismo trabajo. ¿Cuánto tiempo tardarían en construir el muro si ambos trabajaran en paralelo?

Respuesta:

t1∥t2=5h∥7h=115h+17h≈2,92h{\displaystyle t_{1}\parallel t_{2}=5\,\mathrm {h} \parallel 7\,\mathrm {h} ={\frac {1}{{\dfrac {1}{5\,\mathrm {h} }}+{\dfrac {1}{7\,\mathrm {h} }}}}\approx 2.92\,\mathrm {h} }
Terminarán en aproximadamente 3 horas.

Implementación

WP 34S con operador paralelo ( ∥) en la tecla g+÷

Sugerido ya por Kent E. Erickson como una subrutina en computadoras digitales en 1959, [ 22 ] el operador paralelo se implementa como un operador de teclado en las calculadoras científicas de notación polaca inversa (RPN) WP 34S desde 2008 [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] así como en la WP 34C [ 36 ] y WP 43S desde 2015, [ 37 ] [ 38 ] permitiendo resolver incluso problemas en cascada con pocas pulsaciones de teclas como .270↵ Enter180∥120∥

Vista proyectiva

Dado un cuerpo F, existen dos incrustaciones de F en la recta proyectiva P( F ): z → [ z  : 1] y z → [1  : z ]. Estas incrustaciones se superponen excepto en [0:1] y [1:0]. El operador paralelo relaciona la operación de suma entre las incrustaciones. De hecho, las homografías en la recta proyectiva se representan mediante matrices de 2 x 2 M(2, F ), y las operaciones de cuerpo (+ y ×) se extienden a las homografías. Cada incrustación tiene su suma a + b representada por las siguientes multiplicaciones de matrices en M(2, A ):

(10a1)(10b1)=(10a+b1),(1a01)(1b01)=(1a+b01).{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\a+b&1\end{pmatrix}},\\[10mu]{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}

Los dos productos matriciales muestran que hay dos subgrupos de M(2, F ) isomorfos a ( F ,+), el grupo aditivo de F . Dependiendo de qué incrustación se utilice, una operación es +, la otra es∥.{\displaystyle \parallel .}

Véase también

Notas

  1. 1 2 Si bien el uso del símbolo ∥ para "paralelo" en geometría se remonta a 1673 enla obra de John Kersey el Viejo , [A] este se volvió más común solo a partir de 1875 aproximadamente. [B] El uso de un operador matemático para circuitos paralelos tiene su origen en la teoría de redes en ingeniería eléctrica . Sundaram Seshu introdujo un operador de suma reducida en 1956, [C] Kent E. Erickson propuso un asterisco (∗) para simbolizar el operador en 1959, [D] mientras que Richard James Duffin y William Niles Anderson, Jr. utilizaron dos puntos (:) para la suma paralela desde 1966. [E] Sujit Kumar Mitra utilizó un punto medio (∙) para ello en 1970. [F] Se desconoceel primer uso del símbolo paralelo (∥) para este operador en electrónica aplicada , pero podría haberse originado en el libro de Stephen D. Senturia y Bruce D. Wedlock de 1974, "Circuitos electrónicos y aplicaciones", [G] que evolucionó a partir de su curso introductorio de electrónica en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) con conceptos de enseñanza de teoría de redes y electrónica derivados de un curso anterior impartido por Campbell "Cam" Leach Searle . Su popularidad aumentó gracias al libro de John W. McWane de 1981, "Introducción a la electrónica y la instrumentación" [H] , que surgió de un curso del MIT con el mismo nombre, desarrollado como parte del influyente Proyecto de Desarrollo Curricular Técnico entre 1974 y 1979. Este símbolo probablemente también se introdujo porque los demás símbolos utilizados podían confundirse fácilmente con los signos comúnmente empleados para la multiplicación y la división en algunos contextos.
  2. 1 2 3 En los circuitos eléctricos, el operador paralelo se puede aplicar, respectivamente, a resistencias ( R en [Ω]) o inductancias ( L en [H]) en paralelo, así como a impedancias ( Z en [Ω]) o reactancias ( X en [Ω]). Ignorando el glifo entonces engañoso del símbolo del operador,también se puede aplicar a circuitos en serie de, respectivamente, conductancias ( G en [S]) o capacitancias ( C en [F]), así como a admitancias ( Y en [S]) o susceptancias ( B en [S]).

Referencias

  1. 1 2 3 4 Duffin, Richard James (1971) [1970, 1969]. "Modelos de red" . Escrito en Durham, Carolina del Norte, EE. UU. En Wilf, Herbert Saul ; Hararay, Frank (eds.). Aspectos matemáticos del análisis de redes eléctricas . Actas de un simposio de matemáticas aplicadas de la Sociedad Matemática Americana y la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas celebrado en la ciudad de Nueva York, 2/3 de abril de 1969. Vol.  III de las Actas de SIAM-AMS (ed. ilustrada  ). Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Americana (AMS) / Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). págs.  65–92 [68]. ISBN 0-8218-1322-6. ISSN 0080-5084 . LCCN 79-167683 . ISBN   978-0-8218-1322-5. Informe 69-21 . Recuperado el 05-08-2019 . págs. 68– 69: […] Para tener una notación corta y conveniente para la resistencia conjunta de resistencias conectadas en paralelo sea […] A:B = AB/(A+B) […] A:B puede considerarse como una nueva operación denominada suma en paralelo […] La suma en paralelo se define para cualquier número no negativo. El modelo de red muestra que la suma en paralelo es conmutativa y asociativa . Además, la multiplicación es distributiva sobre esta operación. Consideremos ahora una expresión algebraica en las operaciones (+) y (:) que operan sobre números positivos A, B, C, etc. […] Para dar una interpretación de red de dicho polinomio, lea A + B como "A serie B" y A : B como "A paralelo B", entonces es claro que la expresión […] es la resistencia conjunta de la red […]   (206 páginas)
  2. ↑ Kersey (el mayor), John (1673). «Capítulo I: Acerca del alcance de este cuarto libro y la significación de los caracteres, abreviaturas y citas que se utilizan en él». Los elementos de ese arte matemático, comúnmente llamado álgebra . Vol. Libro IV - Los elementos de las artes algebraicas. Londres: Thomas Passinger, Three-Bibles, London-Bridge. págs. 177–178 . Archivado del original el 5 de agosto de 2020. Recuperado el 9 de agosto de 2019 .  
  3. ↑ Cajori, Florian (1993) [septiembre de 1928]. "§ 184, § 359, § 368". Historia de las notaciones matemáticas: Notaciones en matemáticas elementales . Vol. 1 (dos volúmenes en una reimpresión sin modificaciones ). Chicago, EE. UU.: Open Court Publishing Company . págs. 193, 402–403 , 411–412 . ISBN    0-486-67766-4. LCCN 93-29211 . Recuperado el 22-07-2019 . pp. 402– 403, 411– 412: §359. […] ∥ para paralelo aparece en Opuscula mathematica hactenus inedita de Oughtred (1677) [p. 197], una obra póstuma (§ 184) […] §368. Signos para líneas paralelas. […] cuando el signo de igualdad de Recorde se abrió camino en el Continente , las líneas verticales comenzaron a usarse para el paralelismo. Encontramos ∥ para "paralelo" en Kersey , [A] Caswell , Jones , [B] Wilson, [C] Emerson , [D] Kambly, [E] y los escritores de los últimos cincuenta años que ya han sido citados en relación con otros pictogramas. Antes de 1875 aproximadamente no ocurre con tanta frecuencia […] Hall y Stevens [F] usan "par [F] o ∥" para paralelo […]  [A] John Kersey , Álgebra (Londres, 1673), Libro IV, pág. 177.[B] W. Jones , Sinopsis palmarioum matheseos (Londres, 1706).[C] John Wilson, Trigonometría (Edimburgo, 1714), caracteres explicados.[D] W. Emerson , Elementos de Geometría (Londres, 1763), pág. 4.[E] L. Kambly , Die Elementar-Mathematik , Parte 2: Planimetrie , 43.ª edición (Breslau, 1876), pág. 8. […][F] HS Hall y FH Stevens, Elementos de Euclides , Partes I y II (Londres, 1889), pág. 10. […]
  4. ↑ "INA 326/INA 327 – Amplificador de instrumentación de E/S de precisión de riel a riel" (PDF) . Burr-Brown / Texas Instruments . 2018 [noviembre de 2004, noviembre de 2001]. págs. 3, 9, 13. SBOS222D. Archivado (PDF) del original el 13 de julio de 2019. Recuperado el 13 de julio de 2019 . 
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  6. 1 2 Ranade, Gireeja; Stojanovic, Vladimir, eds. (Otoño de 2018). "Capítulo 15.7.2 Resistencias en paralelo" (PDF) . EECS 16A Diseño de dispositivos y sistemas de información I (PDF) (apuntes de clase). Universidad de California, Berkeley . pág. 12. Nota 15. Archivado (PDF) del original el 27/12/2018 . Recuperado el 28/12/2018 . pág. 12: […] Esta relación matemática aparece con la suficiente frecuencia como para tener un nombre: el "operador en paralelo", denotado ∥. Cuando decimos x∥y, significa  incógnitayincógnita+y{\displaystyle {\frac {xy}{x+y}}}Tenga en cuenta que se trata de un operador matemático y no indica nada sobre la configuración real. En el caso de las resistencias, el operador paralelo se utiliza para resistencias en paralelo, pero para otros componentes (como los condensadores) no es así. […](16 páginas)
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  26. ↑ Wiesner, Jerome Bert ; Johnson, Howard Wesley ; Killian, Jr., James Rhyne , eds. (1978-04-11). "Escuela de Ingeniería – Centro de Estudios Avanzados de Ingeniería (CAES) – Investigación y Desarrollo – Proyecto de Investigación y Desarrollo del Currículo Técnico". Informe del Presidente y el Rector 1977–78 – Instituto Tecnológico de Massachusetts (PDF) . Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT). págs. 249, 252–253 . Archivado (PDF) del original el 10-09-2015 . Recuperado el 08-08-2019 . págs. 249, 252–253 : […] El Programa de Investigación y Desarrollo del Currículo Técnico, patrocinado por la Organización Imperial de Servicios Sociales de Irán , está entrando en el cuarto año de un contrato de cinco años. El desarrollo curricular en ingeniería electrónica y mecánica continúa. […] Administrado conjuntamente por CAES y el Departamento de Ciencia e Ingeniería de Materiales , el proyecto está bajo la supervisión del profesor Merton C. Flemings. Está dirigido por el Dr. John W. McWane. […] Desarrollo de materiales curriculares. Esta es la actividad principal del proyecto y se centra en el desarrollo de materiales didácticos innovadores y de vanguardia en áreas necesarias de la tecnología de la ingeniería. […] Nuevo curso introductorio de electrónica […] se titula Introducción a la electrónica e instrumentación y consta de ocho […] módulos […] Corriente continua, voltaje y resistencia; Redes de circuitos básicos; Señales variables en el tiempo; Amplificadores operacionales; Fuentes de alimentación; Corriente alterna, voltaje e impedancia; Circuitos digitales; y Medición y control electrónicos. Este curso representa un cambio importante y una actualización de la forma en que se introduce la electrónica, y debería ser de gran valor para STI , así como para muchos programas estadounidenses. […]  
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