Densidad de empaquetamiento

La densidad de empaquetamiento o fracción de empaquetamiento de un conjunto de objetos en un espacio determinado es la fracción del espacio ocupado por las figuras que lo componen. En términos sencillos, es la relación entre el volumen de los objetos en un espacio y el volumen del espacio mismo. En los problemas de empaquetamiento , el objetivo suele ser obtener un conjunto de objetos con la mayor densidad posible.

Si${\displaystyle K_{1},\dots ,K_{n}}$son subconjuntos medibles de un espacio de medida compacto${\displaystyle X}$ y sus interiores por pares no se intersecan, entonces la colección${\displaystyle [K_{i}]}$es un embalaje en${\displaystyle X}$y su densidad de empaque es $${\displaystyle \eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}.}$$

Si el espacio que se está empaquetando es de medida infinita, como el espacio euclidiano , es habitual definir la densidad como el límite de las densidades que presentan las bolas de radios cada vez mayores.${\displaystyle B_{t}}$es la bola de radio${\displaystyle t}$centrado en el origen, entonces la densidad de un empaquetamiento${\displaystyle [K_{i}:i\in \mathbb {N} ]}$es $${\displaystyle \eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}.}$$ Dado que este límite no siempre existe, también es útil definir las densidades superior e inferior como el límite superior y el límite inferior de lo anterior, respectivamente. Si la densidad existe, las densidades superior e inferior son iguales. Siempre que cualquier bola del espacio euclidiano interseque solo un número finito de elementos del empaquetamiento y que los diámetros de los elementos estén acotados superiormente, la densidad (superior, inferior) no depende de la elección del origen, y${\displaystyle \mu (K_{i}\cap B_{t})}$puede ser reemplazado por${\displaystyle \mu (K_{i})}$por cada elemento que se interseca${\displaystyle B_{t}}$. ^{[ 1 ]} La bola también puede ser reemplazada por dilataciones de algún otro cuerpo convexo, pero en general las densidades resultantes no son iguales.

A menudo, interesan los empaquetamientos restringidos al uso de elementos de una colección de suministro determinada. Por ejemplo, la colección de suministro puede ser el conjunto de todas las bolas de un radio dado. La densidad de empaquetamiento óptima o constante de empaquetamiento asociada a una colección de suministro es el supremo de las densidades superiores obtenidas por empaquetamientos que son subcolecciones de la colección de suministro. Si la colección de suministro consta de cuerpos convexos de diámetro limitado, existe un empaquetamiento cuya densidad de empaquetamiento es igual a la constante de empaquetamiento, y esta constante de empaquetamiento no varía si las bolas en la definición de densidad se reemplazan por dilataciones de algún otro cuerpo convexo. ^{[ 1 ]}

Un conjunto de datos de interés particular son todos los movimientos euclidianos de un cuerpo convexo fijo.${\displaystyle K}$En este caso, llamamos a la constante de empaquetamiento la constante de empaquetamiento de${\displaystyle K}$La conjetura de Kepler se refiere a la constante de empaquetamiento de las 3-bolas. La conjetura de empaquetamiento de Ulam afirma que las 3-bolas tienen la constante de empaquetamiento más baja de cualquier sólido convexo. Todas las traslaciones de un cuerpo fijo también constituyen una colección de suministro común de interés, y definen la constante de empaquetamiento traslacional de dicho cuerpo.

• Factor de empaquetamiento atómico
• Empaquetamiento de esferas
• Lista de formas con constante de empaquetamiento conocida

• Weisstein, Eric W. "Densidad de empaquetamiento" . MathWorld .