Lenguaje de modelado PROSE

Si la solución anidada era una predicción (por ejemplo, integración numérica), su algoritmo de solución, además de las fórmulas del modelo, también se diferenciaría automáticamente. Dado que esta diferenciación se propagaba (mediante la regla de la cadena ) a lo largo de la integración, desde las condiciones iniciales hasta las condiciones de contorno, se realizaba la diferenciación de las condiciones de contorno con respecto a las condiciones iniciales (las llamadas derivadas de Fréchet ). Esto permitía la solución rutinaria de problemas de contorno mediante métodos iterativos de "disparo" utilizando motores del método de Newton. Por supuesto, al mismo tiempo, esta diferenciación propagada también podía realizarse con respecto a parámetros arbitrarios de las ecuaciones diferenciales para dar forma a las funciones integradas. Estos parámetros podían resolverse como incógnitas de cualquier nivel de anidamiento en la jerarquía superior al proceso de integración, lo que suponía una gran ventaja en la formulación general del problema.

Si el problema interno anidado era una búsqueda, y el problema externo también lo era (por ejemplo, optimización), entonces las derivadas parciales obtenidas con respecto a las incógnitas de la búsqueda interna debían convertirse en derivadas parciales de la búsqueda externa mediante una transformación de coordenadas de geometría diferencial. Este era también un proceso iterativo que implicaba diferenciación de orden superior y, en ocasiones, diferentes variables independientes.

Sin embargo, estos procesos aritméticos diferenciales extensos e iterativos estaban completamente ocultos para el usuario y apenas resultaban más relevantes para su tarea de modelado que si solo se utilizaran subrutinas ordinarias y sus llamadas. El hecho de que fueran iterativos y que el número y tipo de iteraciones fueran indefinidos se debía a que se estaba resolviendo un subproblema completo que, a su vez, formaba parte de un problema de mayor envergadura. Era natural denominar a cada conjunto de problemas como un " holón ", ya que esta entidad dinámica encajaba perfectamente con la teoría de Arthur Koestler, quien acuñó dicho término. Esto no se incluyó en la documentación original de PROSE, dado que en aquellos años la teoría de Koestler era novedosa y algo controvertida. Este término se utilizó posteriormente tras la ratificación por parte de Ken Wilber de los conceptos de holón de Koestler.

ENCONTRAR incógnitas simultáneas EN la subrutina del modelo POR motor de resolución [ MANTENER variables de restricción de desigualdad ] [ COINCIDENCIA DE LAS VECES DE RESTRICCIÓN DE IGUALDAD ] PARA MAXIMIZAR | MINIMIZAR la variable objetivo

ENCONTRAR incógnitas simultáneas EN la subrutina del modelo POR motor de resolución PARA COINCIDIR con las variables de restricción de igualdad

INICIO motor de resolución PARA subrutina modelo ECUACIONES variables de tasa/variables de nivel DE variable independiente PASO variable de incremento A variable límiteIntegrar la subrutina del modelo mediante el motor de resolución.

Estas tres plantillas de operadores crearon holones dinámicos que encapsulaban una jerarquía de subrutinas de modelos de ecuaciones, las cuales podían contener otros holones anidados, ya que las subrutinas del modelo podían contener cualquiera de las plantillas de operadores que encapsulaban subproblemas. Cada holón en la holarquía tenía un motor de algoritmo de resolución, que podía intercambiarse con otros de su misma clase. La aritmética extendida de la diferenciación automática y su capacidad para diferenciar dinámicamente la integración numérica dieron lugar al modo único de modelado de holarquía ilustrado en la Figura 1.

Este problema de ejemplo era originalmente una aplicación FORTRAN de un informe de RAND sobre un algoritmo utilizado para la optimización de aplicaciones de problemas de valores en la frontera. Este informe, también publicado como libro de texto, ^{[ 14 ]} describía la cuasilinealización, una alternativa a la "programación dinámica", inventada por el mismo autor, Richard Bellman . El programa FORTRAN del Apéndice Dos del libro de texto contiene más de cinco veces la cantidad de código que el programa PROSE de 25 líneas, completamente incrustado en los recuadros blancos (sintaxis visible) de la Figura 1. Más significativo en esta discusión sobre modelado versus programación es que el programa FORTRAN contiene 14 bucles DO, mientras que el programa PROSE no contiene ninguno. Otro punto a destacar sobre la simplificación del programa es que la gestión dinámica de la memoria podría darse por sentada por el usuario. Al regresar de un holón a su plantilla de operador de llamada, el holón se destruía y su memoria se liberaba para otro uso.

Esta aplicación es realmente trivial en cuanto a la cantidad de código necesaria para plantear el problema. Por eso el programa PROSE es tan pequeño. Toda su metodología de solución iterativa está integrada en los motores de resolución (elipses en la Figura 1). Los modelos rara vez necesitan bucles. Por eso las hojas de cálculo, que son herramientas de modelado, ni siquiera los incluyen.

Este ejemplo ilustra completamente el paradigma del holón en una sola aplicación. Se emplean sus tres tipos de holón: búsqueda de optimización en el nivel más alto de la jerarquía, búsqueda de correlación (un subconjunto restringido de la búsqueda de optimización) como holón intermedio y simulación de dinámica de sistemas como holón interno. En la Figura 2 se muestra otro programa PROSE con la misma estructura. Se trata de una aplicación algo mayor de la optimización de una estructura de ala en voladizo para maximizar la sustentación, sujeta a restricciones de estructura y peso. En este caso, el solucionador del holón externo busca las incógnitas de optimización en diez dimensiones de coordenadas.

Cada uno de los dos holones externos posee un sistema de coordenadas oculto con incógnitas que su motor de búsqueda resuelve. Estos motores requieren derivadas parciales de todas las variables dependientes de dichas incógnitas, las cuales se evalúan mediante aritmética de diferenciación automática. Las derivadas del sistema de coordenadas externo deben calcularse a partir de las derivadas del sistema de coordenadas interno, una vez que el motor de búsqueda interno haya convergido (encontrado una solución local). Aquí es donde se aplica una transformación de coordenadas de geometría diferencial. El problema del ala de la Figura 2 incluye más subprogramas, no mostrados, entre ellos una función de cuadratura integral.

Dado que estos subprogramas incluyen la integración numérica del modelo de dinámica del sistema (ecuaciones diferenciales), la aritmética de diferenciación automática incluye la diferenciación del algoritmo de integración del motor de simulación (y del solucionador de cuadratura) para evaluar las derivadas de las condiciones de contorno (puntos finales de las curvas integradas) con respecto a las condiciones iniciales. Este cálculo no es posible mediante diferenciación simbólica formal, ni tampoco es factible con la aproximación de diferencias finitas. Solo la diferenciación automática, con su propagación exacta mediante la regla de la cadena, es factible.

Como se mencionó anteriormente, un holón es un contenedor de computación, similar a una hoja de cálculo, que encapsula un conjunto de fórmulas algebraicas de entrada . Sin embargo, a diferencia de una hoja de cálculo, estas fórmulas forman parte de un todo irreducible que solo puede resolverse conjuntamente como una unidad, mediante una sucesión de aproximaciones (iteraciones). Por lo tanto, una hoja de cálculo, que solo implica una única pasada de cálculos de fórmulas, puede considerarse un holón "degenerado" o "reducido", es decir, uno que solo requiere cálculos de una sola pasada.

Un modelo de holón eleva un sistema encapsulado de fórmulas algebraicas a un arquetipo de problema superior que relaciona incógnitas simultáneas con una condición de solución definible, distinta de una simple pasada por el conjunto de fórmulas. Se requiere cálculo iterativo "de fondo" para "converger" las aproximaciones de múltiples pasadas a la condición de solución.

Cada holón automatiza uno de los tres arquetipos de problemas de sistemas que han surgido de las matemáticas superiores con una clase distinta de métodos de solución, aplicables como operadores intercambiables. Estos métodos operan sobre las fórmulas de entrada y sus cálculos para guiar las aproximaciones sucesivas a la solución del holón. Estos arquetipos de problemas surgen fácilmente de las colecciones de fórmulas que representan el modelado de fenómenos naturales y pueden usarse como bloques de construcción para sintetizar programas de computación completos como holarquías de holones secuenciales o anidados. Usados ​​en conjunto como un alfabeto, estos problemas arquetípicos se convierten en una topología de modelado de matemáticas superiores dentro de un lenguaje de programación algebraica que contiene metodologías de "pegamento" semántico especiales que propagan la "influencia" del cálculo a través de las colecciones de holones.

A medida que los holones se combinan para formar totalidades mayores mediante la combinación alfabética, estas holarquías tienden a convertirse en arquetipos de problemas, que a menudo surgen de la modelización de fenómenos naturales. Un ejemplo son los problemas de contorno, que se resuelven mediante la combinación de holones de correlación y simulación.

PROSE introdujo un panteón de solucionadores intercambiables que llevan el nombre de dioses mitológicos en las tres categorías de motores: